ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlembi GIF version

Theorem bezoutlembi 12024
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlembz 12023 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 12023 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 dvdsmultr1 11856 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
11 dvdsmultr1 11856 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
122, 9, 10, 11syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
134, 5zmulcld 9399 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
149, 10zmulcld 9399 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
15 dvds2add 11850 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
162, 13, 14, 15syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
177, 12, 16syl2and 295 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
1918breq2d 4030 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2017, 19sylibrd 169 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘))
21 bi3 119 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2322ex 115 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2423rexlimdvva 2615 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
25 imdistan 444 . . . . . . 7 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
26 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
27 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2826, 27imbi12i 239 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2925, 28bitr4i 187 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3024, 29sylib 122 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3130ralimdva 2557 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
32 0z 9282 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
33 elex2 2768 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค
35 r19.27mv 3534 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
37 r19.27mv 3534 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3834, 37ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3931, 36, 383imtr3g 204 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
4039reximdva 2592 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
411, 40mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364  โˆƒwex 1503   โˆˆ wcel 2160  โˆ€wral 2468  โˆƒwrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  0cc0 7829   + caddc 7832   ยท cmul 7834  โ„•0cn0 9194  โ„คcz 9271   โˆฅ cdvds 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fl 10288  df-mod 10341  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-dvds 11813
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12026  dfgcd3  12029  bezout  12030
  Copyright terms: Public domain W3C validator