ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlembi GIF version

Theorem bezoutlembi 12019
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlembz 12018 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 12018 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 dvdsmultr1 11851 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
11 dvdsmultr1 11851 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
122, 9, 10, 11syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
134, 5zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
149, 10zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
15 dvds2add 11845 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
162, 13, 14, 15syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
177, 12, 16syl2and 295 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
1918breq2d 4027 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2017, 19sylibrd 169 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘))
21 bi3 119 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2322ex 115 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2423rexlimdvva 2612 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
25 imdistan 444 . . . . . . 7 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
26 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
27 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2826, 27imbi12i 239 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2925, 28bitr4i 187 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3024, 29sylib 122 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3130ralimdva 2554 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
32 0z 9277 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
33 elex2 2765 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค
35 r19.27mv 3531 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
37 r19.27mv 3531 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3834, 37ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3931, 36, 383imtr3g 204 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
4039reximdva 2589 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
411, 40mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12021  dfgcd3  12024  bezout  12025
  Copyright terms: Public domain W3C validator