Theorem bezoutlembi 11938

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11937 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 11937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℤ)
3		simpll 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simplrl 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 11771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 → 𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝐴 → 𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
8		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11		dvdsmultr1 11771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 → 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝐵 → 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
13	4, 5	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
14	9, 10	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ)
15		dvds2add 11765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
17	7, 12, 16	syl2and 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
19	18	breq2d 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	17, 19	sylibrd 168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ 𝑑))
21		bi3 118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ 𝑑) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
23	22	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
24	23	rexlimdvva 2591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
25		imdistan 441	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
26		ancom 264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
27		ancom 264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
28	26, 27	imbi12i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
29	25, 28	bitr4i 186	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) ↔ (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
30	24, 29	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
31	30	ralimdva 2533	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
32		0z 9202	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		elex2 2742	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ
35		r19.27mv 3505	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
37		r19.27mv 3505	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
39	31, 36, 38	3imtr3g 203	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
40	39	reximdva 2568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
41	1, 40	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753   + caddc 7756   · cmul 7758  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11940  dfgcd3  11943  bezout  11944