Theorem bezoutlembi 11729

Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11728 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlembi	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem bezoutlembi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlembz 11728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℤ)
3		simpll 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simplrl 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 11567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐴 → 𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝐴 → 𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
8		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11		dvdsmultr1 11567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝐵 → 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝐵 → 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
13	4, 5	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
14	9, 10	zmulcld 9203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ)
15		dvds2add 11563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
16	2, 13, 14, 15	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
17	7, 12, 16	syl2and 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
19	18	breq2d 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
20	17, 19	sylibrd 168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ 𝑑))
21		bi3 118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) → 𝑧 ∥ 𝑑) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
22	20, 21	syl5com 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
23	22	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
24	23	rexlimdvva 2560	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
25		imdistan 441	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
26		ancom 264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
27		ancom 264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
28	26, 27	imbi12i 238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))))
29	25, 28	bitr4i 186	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) ↔ (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
30	24, 29	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
31	30	ralimdva 2502	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
32		0z 9089	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
33		elex2 2705	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → ∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ
35		r19.27mv 3464	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
37		r19.27mv 3464	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
38	34, 37	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
39	31, 36, 38	3imtr3g 203	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
40	39	reximdva 2537	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 → (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
41	1, 40	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782  0cc0 7644   + caddc 7647   · cmul 7649  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078   ∥ cdvds 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11731  dfgcd3  11734  bezout  11735