ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlembi GIF version

Theorem bezoutlembi 11076
Description: Lemma for Bézout's identity. Like bezoutlembz 11075 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 11075 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℤ)
3 simpll 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
43ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 simplrl 502 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℤ)
6 dvdsmultr1 10916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧𝐴𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧𝐴𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥)))
8 simplr 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
98ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11 dvdsmultr1 10916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧𝐵𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
122, 9, 10, 11syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧𝐵𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)))
134, 5zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
149, 10zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ)
15 dvds2add 10912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
162, 13, 14, 15syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧 ∥ (𝐴 · 𝑥) ∧ 𝑧 ∥ (𝐵 · 𝑦)) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
177, 12, 16syl2and 289 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
18 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))
1918breq2d 3849 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (𝑧𝑑𝑧 ∥ ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
2017, 19sylibrd 167 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝑑))
21 bi3 117 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (((𝑧𝐴𝑧𝐵) → 𝑧𝑑) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
2322ex 113 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))))
2423rexlimdvva 2496 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))))
25 imdistan 433 . . . . . . 7 ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))))
26 ancom 262 . . . . . . . 8 (((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
27 ancom 262 . . . . . . . 8 (((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
2826, 27imbi12i 237 . . . . . . 7 ((((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))) ↔ ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) ∧ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))))
2925, 28bitr4i 185 . . . . . 6 ((∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)) → ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) → (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) ↔ (((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3024, 29sylib 120 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3130ralimdva 2441 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
32 0z 8731 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
33 elex2 2635 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → ∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ)
3432, 33ax-mp 7 . . . . 5 𝑧 𝑧 ∈ ℤ
35 r19.27mv 3374 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3634, 35ax-mp 7 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
37 r19.27mv 3374 . . . . 5 (∃𝑧 𝑧 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
3834, 37ax-mp 7 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
3931, 36, 383imtr3g 202 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
4039reximdva 2475 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 → (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦)))))
411, 40mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑥) + (𝐵 · 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  0cc0 7329   + caddc 7332   · cmul 7334  0cn0 8643  cz 8720  cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10879
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11078  dfgcd3  11081  bezout  11082
  Copyright terms: Public domain W3C validator