ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlembi GIF version

Theorem bezoutlembi 12005
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlembz 12004 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
bezoutlembi ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐ต,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง

Proof of Theorem bezoutlembi
StepHypRef Expression
1 bezoutlembz 12004 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
43ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 simplrl 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 dvdsmultr1 11837 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ)))
8 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
98ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
10 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
11 dvdsmultr1 11837 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
134, 5zmulcld 9380 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
149, 10zmulcld 9380 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
15 dvds2add 11831 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
162, 13, 14, 15syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
177, 12, 16syl2and 295 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
1918breq2d 4015 . . . . . . . . . 10 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ง โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
2017, 19sylibrd 169 . . . . . . . . 9 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘))
21 bi3 119 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘‘) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2220, 21syl5com 29 . . . . . . . 8 ((((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2322ex 115 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2423rexlimdvva 2602 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
25 imdistan 444 . . . . . . 7 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
26 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
27 ancom 266 . . . . . . . 8 (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))))
2826, 27imbi12i 239 . . . . . . 7 ((((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))) โ†” ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))))
2925, 28bitr4i 187 . . . . . 6 ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))) โ†” (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3024, 29sylib 122 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3130ralimdva 2544 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
32 0z 9263 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
33 elex2 2753 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค
35 r19.27mv 3519 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3634, 35ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
37 r19.27mv 3519 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
3834, 37ax-mp 5 . . . 4 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†” (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
3931, 36, 383imtr3g 204 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
4039reximdva 2579 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))))
411, 40mpd 13 1 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  0cc0 7810   + caddc 7813   ยท cmul 7815  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12007  dfgcd3  12010  bezout  12011
  Copyright terms: Public domain W3C validator