Theorem cjap 11088

Description: Complex conjugate and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cjap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem cjap

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8039	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
3		cnre 8039	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4	3	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑦 ∈ ℂ)
8		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℝ)
9	8	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑤 ∈ ℂ)
10		apneg 8655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑦 # 𝑤 ↔ -𝑦 # -𝑤))
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑦 # 𝑤 ↔ -𝑦 # -𝑤))
12	11	orbi2d 791	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
13		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
14		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
15	13, 14	breq12d 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤))))
16		simplrl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
18		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
19		apreim 8647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
20	17, 6, 18, 8, 19	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) # (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
21	15, 20	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ 𝑦 # 𝑤)))
22	13	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐴) = (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
23		cjreim 11085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
24	17, 6, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
25	22, 24	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐴) = (𝑥 − (i · 𝑦)))
26	14	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐵) = (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))))
27		cjreim 11085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
28	18, 8, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘(𝑧 + (i · 𝑤))) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
29	26, 28	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (∗‘𝐵) = (𝑧 − (i · 𝑤)))
30	25, 29	breq12d 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ (𝑥 − (i · 𝑦)) # (𝑧 − (i · 𝑤))))
31	17	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑥 ∈ ℂ)
32		ax-icn 7991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → i ∈ ℂ)
34		submul2 8442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · -𝑦)))
35	31, 33, 7, 34	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑥 − (i · 𝑦)) = (𝑥 + (i · -𝑦)))
36	18	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℂ)
37		submul2 8442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 − (i · 𝑤)) = (𝑧 + (i · -𝑤)))
38	36, 33, 9, 37	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → (𝑧 − (i · 𝑤)) = (𝑧 + (i · -𝑤)))
39	35, 38	breq12d 4047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 − (i · 𝑦)) # (𝑧 − (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤))))
40	6	renegcld 8423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → -𝑦 ∈ ℝ)
41	8	renegcld 8423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → -𝑤 ∈ ℝ)
42		apreim 8647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ -𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
43	17, 40, 18, 41, 42	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((𝑥 + (i · -𝑦)) # (𝑧 + (i · -𝑤)) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
44	30, 39, 43	3bitrd 214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ (𝑥 # 𝑧 ∨ -𝑦 # -𝑤)))
45	12, 21, 44	3bitr4rd 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))
46	45	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
47	46	rexlimdvva 2622	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐵 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
48	4, 47	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))
49	48	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
50	49	rexlimdvva 2622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵)))
51	2, 50	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) # (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895  ici 7898   + caddc 7899   · cmul 7901   − cmin 8214  -cneg 8215   # cap 8625  ∗ccj 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-2 9066  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026

This theorem is referenced by:  cjap0  11089