Theorem logbgcd1irrap 15697

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is irrational (in the sense of being apart from any rational number) if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) # 𝑄 where 𝑄 is rational. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irrap	⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Proof of Theorem logbgcd1irrap

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		elq 9856	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
4		simp-4l 543	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5		simp-4r 544	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
8		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
9		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	4, 5, 7, 8, 9	logbgcd1irraplemap 15696	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑚 / 𝑛))
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
12	10, 11	breqtrrd 4116	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)
13	12	ex 115	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
14	13	rexlimdvva 2658	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
15	3, 14	mpd 13	1 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  1c1 8033   # cap 8761   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ℚcq 9853   gcd cgcd 12526   log_b clogb 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11377  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ef 12211  df-e 12212  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-psmet 14560  df-xmet 14561  df-met 14562  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770  df-ntr 14823  df-cn 14915  df-cnp 14916  df-tx 14980  df-cncf 15298  df-limced 15383  df-dvap 15384  df-relog 15585  df-rpcxp 15586  df-logb 15671

This theorem is referenced by:  2logb9irrap  15704