Theorem logbgcd1irrap 15652

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is irrational (in the sense of being apart from any rational number) if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) # 𝑄 where 𝑄 is rational. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irrap	⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Proof of Theorem logbgcd1irrap

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		elq 9825	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
4		simp-4l 541	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5		simp-4r 542	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
8		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
9		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	4, 5, 7, 8, 9	logbgcd1irraplemap 15651	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑚 / 𝑛))
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
12	10, 11	breqtrrd 4111	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)
13	12	ex 115	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
14	13	rexlimdvva 2656	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
15	3, 14	mpd 13	1 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8008   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ℚcq 9822   gcd cgcd 12482   log_b clogb 15625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-pre-suploc 8128  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-ioo 10096  df-ico 10098  df-icc 10099  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-fac 10956  df-bc 10978  df-ihash 11006  df-shft 11334  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ef 12167  df-e 12168  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339  df-relog 15540  df-rpcxp 15541  df-logb 15626

This theorem is referenced by:  2logb9irrap  15659