Theorem logbgcd1irrap 15884

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is irrational (in the sense of being apart from any rational number) if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) # 𝑄 where 𝑄 is rational. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irrap	⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Proof of Theorem logbgcd1irrap

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → 𝑄 ∈ ℚ)
2		elq 9960	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
3	1, 2	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
4		simp-4l 543	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
5		simp-4r 544	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
6		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
7	6	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
8		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
9		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
10	4, 5, 7, 8, 9	logbgcd1irraplemap 15883	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑚 / 𝑛))
11		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → 𝑄 = (𝑚 / 𝑛))
12	10, 11	breqtrrd 4139	. . . 4 ⊢ (((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)
13	12	ex 115	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
14	13	rexlimdvva 2670	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄))
15	3, 14	mpd 13	1 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (𝐵 logb 𝑋) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1c1 8133   # cap 8860   / cdiv 8951  ℕcn 9242  2c2 9293  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  ℚcq 9957   gcd cgcd 12657   log_b clogb 15857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252  ax-pre-suploc 8253  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-disj 4088  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-map 6886  df-pm 6887  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-xneg 10111  df-xadd 10112  df-ioo 10231  df-ico 10233  df-icc 10234  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-fac 11096  df-bc 11118  df-ihash 11147  df-shft 11508  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047  df-ef 12342  df-e 12343  df-dvds 12482  df-gcd 12658  df-prm 12813  df-rest 13475  df-topgen 13494  df-psmet 14740  df-xmet 14741  df-met 14742  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-top 14912  df-topon 14925  df-bases 14957  df-ntr 15010  df-cn 15102  df-cnp 15103  df-tx 15167  df-cncf 15485  df-limced 15570  df-dvap 15571  df-relog 15772  df-rpcxp 15773  df-logb 15858

This theorem is referenced by:  2logb9irrap  15891