Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qapne GIF version

Theorem qapne 9457
 Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
qapne ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem qapne
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9440 . . . 4 (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
21biimpi 119 . . 3 (𝐵 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
32adantl 275 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
4 simplll 523 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℚ)
5 elq 9440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
64, 5sylib 121 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
7 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
87zcnd 9197 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
109ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
1110zcnd 9197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
1312ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
1413nncnd 8757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15 nnap0 8772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
1613, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
1711, 14, 16divclapd 8573 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) ∈ ℂ)
18 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
1918nncnd 8757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2017, 19mulcld 7809 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ)
21 nnap0 8772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
2218, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
2319, 22recclapd 8564 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2419, 22recap0d 8565 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) # 0)
25 apmul1 8571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) # 0)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
268, 20, 23, 24, 25syl112anc 1221 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
278, 19, 22divrecapd 8576 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
2827eqcomd 2146 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (1 / 𝑦)) = (𝑥 / 𝑦))
2917, 19, 23mulassd 7812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))))
3019, 22recidapd 8566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (1 / 𝑦)) = 1)
3130oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))) = ((𝑧 / 𝑤) · 1))
3217mulid1d 7806 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 1) = (𝑧 / 𝑤))
3329, 31, 323eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = (𝑧 / 𝑤))
3428, 33breq12d 3949 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
3526, 34bitrd 187 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
3613nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
377, 36zmulcld 9202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
3837zcnd 9197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ)
3918nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4039, 10zmulcld 9202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
4140zcnd 9197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
4214, 16recclapd 8564 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
4314, 16recap0d 8565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) # 0)
44 apmul1 8571 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑤) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) # 0)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
4538, 41, 42, 43, 44syl112anc 1221 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
468, 14, 42mulassd 7812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))))
4714, 16recidapd 8566 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 · (1 / 𝑤)) = 1)
4847oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))) = (𝑥 · 1))
498mulid1d 7806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
5046, 48, 493eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = 𝑥)
5150breq1d 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
5245, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
5319, 11, 42mulassd 7812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
5411, 14, 16divrecapd 8576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) = (𝑧 · (1 / 𝑤)))
5554oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
5619, 17mulcomd 7810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
5753, 55, 563eqtr2d 2179 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
5857breq2d 3948 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
5952, 58bitrd 187 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
60 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
61 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
6260, 61breq12d 3949 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
6335, 59, 623bitr4d 219 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 # 𝐵))
64 zapne 9148 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
6537, 40, 64syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
6663, 65bitr3d 189 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
6763notbid 657 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
68 apti 8407 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
6938, 41, 68syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
70 qcn 9452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
7170ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7271ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7361, 17eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74 apti 8407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7572, 73, 74syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
7667, 69, 753bitr4d 219 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 = 𝐵))
7776necon3bid 2350 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴𝐵))
7866, 77bitrd 187 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))
7978ex 114 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵)))
8079rexlimdvva 2560 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵)))
816, 80mpd 13 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))
8281ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵)))
8382rexlimdvva 2560 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵)))
843, 83mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∃wrex 2418   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  ℂcc 7641  0cc0 7643  1c1 7644   · cmul 7648   # cap 8366   / cdiv 8455  ℕcn 8743  ℤcz 9077  ℚcq 9437 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-q 9438 This theorem is referenced by:  qltlen  9458  qlttri2  9459  qreccl  9460  qdivcl  9461  irrmul  9465  flqltnz  10090  modqmulnn  10145  qexpclz  10344  sqrt2irraplemnn  11891  apdiff  13414
 Copyright terms: Public domain W3C validator