Theorem qapne 9598

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem qapne

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9581	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
4		simplll 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		elq 9581	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
6	4, 5	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
13	12	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15		nnap0 8907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
17	11, 14, 16	divclapd 8707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) ∈ ℂ)
18		simplrr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ)
21		nnap0 8907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	19, 22	recclapd 8698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
24	19, 22	recap0d 8699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) # 0)
25		apmul1 8705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) # 0)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
27	8, 19, 22	divrecapd 8710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
28	27	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (1 / 𝑦)) = (𝑥 / 𝑦))
29	17, 19, 23	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))))
30	19, 22	recidapd 8700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (1 / 𝑦)) = 1)
31	30	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))) = ((𝑧 / 𝑤) · 1))
32	17	mulid1d 7937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 1) = (𝑧 / 𝑤))
33	29, 31, 32	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = (𝑧 / 𝑤))
34	28, 33	breq12d 4002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
35	26, 34	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
36	13	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
37	7, 36	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	18	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39, 10	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
42	14, 16	recclapd 8698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
43	14, 16	recap0d 8699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) # 0)
44		apmul1 8705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑤) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) # 0)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
46	8, 14, 42	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))))
47	14, 16	recidapd 8700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 · (1 / 𝑤)) = 1)
48	47	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))) = (𝑥 · 1))
49	8	mulid1d 7937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = 𝑥)
51	50	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
52	45, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
53	19, 11, 42	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
54	11, 14, 16	divrecapd 8710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) = (𝑧 · (1 / 𝑤)))
55	54	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
56	19, 17	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
58	57	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
59	52, 58	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
60		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
61		simpllr 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
62	60, 61	breq12d 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
63	35, 59, 62	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 # 𝐵))
64		zapne 9286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
65	37, 40, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
66	63, 65	bitr3d 189	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
67	63	notbid 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
68		apti 8541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
69	38, 41, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
70		qcn 9593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	61, 17	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		apti 8541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
75	72, 73, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
76	67, 69, 75	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 = 𝐵))
77	76	necon3bid 2381	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
78	66, 77	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
79	78	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
80	79	rexlimdvva 2595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
82	81	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
83	82	rexlimdvva 2595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
84	3, 83	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  qltlen  9599  qlttri2  9600  qreccl  9601  qdivcl  9602  irrmul  9606  flqltnz  10243  modqmulnn  10298  qexpclz  10497  sqrt2irraplemnn  12133  pceu  12249  pcdiv  12256  pcqdiv  12261  pcexp  12263  pcaddlem  12292  qexpz  12304  apdiff  14080