Theorem qapne 9872

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem qapne

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9855	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
4		simplll 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		elq 9855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
6	4, 5	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15		nnap0 9171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
17	11, 14, 16	divclapd 8969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) ∈ ℂ)
18		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 9156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ)
21		nnap0 9171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	19, 22	recclapd 8960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
24	19, 22	recap0d 8961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) # 0)
25		apmul1 8967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) # 0)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
27	8, 19, 22	divrecapd 8972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
28	27	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (1 / 𝑦)) = (𝑥 / 𝑦))
29	17, 19, 23	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))))
30	19, 22	recidapd 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (1 / 𝑦)) = 1)
31	30	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))) = ((𝑧 / 𝑤) · 1))
32	17	mulridd 8195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 1) = (𝑧 / 𝑤))
33	29, 31, 32	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = (𝑧 / 𝑤))
34	28, 33	breq12d 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
35	26, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
36	13	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
37	7, 36	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	18	nnzd 9600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39, 10	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
42	14, 16	recclapd 8960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
43	14, 16	recap0d 8961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) # 0)
44		apmul1 8967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑤) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) # 0)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
46	8, 14, 42	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))))
47	14, 16	recidapd 8962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 · (1 / 𝑤)) = 1)
48	47	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))) = (𝑥 · 1))
49	8	mulridd 8195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = 𝑥)
51	50	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
53	19, 11, 42	mulassd 8202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
54	11, 14, 16	divrecapd 8972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) = (𝑧 · (1 / 𝑤)))
55	54	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
56	19, 17	mulcomd 8200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
58	57	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
59	52, 58	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
60		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
61		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
62	60, 61	breq12d 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
63	35, 59, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 # 𝐵))
64		zapne 9553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
65	37, 40, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
66	63, 65	bitr3d 190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
67	63	notbid 673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
68		apti 8801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
69	38, 41, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
70		qcn 9867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	61, 17	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		apti 8801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
76	67, 69, 75	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 = 𝐵))
77	76	necon3bid 2443	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
78	66, 77	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
79	78	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
80	79	rexlimdvva 2658	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
82	81	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
83	82	rexlimdvva 2658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
84	3, 83	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031  1c1 8032   · cmul 8036   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤcz 9478  ℚcq 9852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853

This theorem is referenced by:  qltlen  9873  qlttri2  9874  qreccl  9875  qdivcl  9876  irrmul  9880  irrmulap  9881  flqltnz  10546  modqmulnn  10603  qexpclz  10821  sqrt2irraplemnn  12750  pceu  12867  pcdiv  12874  pcqdiv  12879  pcexp  12881  pcaddlem  12911  qexpz  12924  apdiff  16652