Theorem qapne 9577

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem qapne

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9560	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
4		simplll 523	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		elq 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
6	4, 5	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
13	12	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15		nnap0 8886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
17	11, 14, 16	divclapd 8686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) ∈ ℂ)
18		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ)
21		nnap0 8886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	19, 22	recclapd 8677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
24	19, 22	recap0d 8678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) # 0)
25		apmul1 8684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) # 0)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
27	8, 19, 22	divrecapd 8689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
28	27	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (1 / 𝑦)) = (𝑥 / 𝑦))
29	17, 19, 23	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))))
30	19, 22	recidapd 8679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (1 / 𝑦)) = 1)
31	30	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))) = ((𝑧 / 𝑤) · 1))
32	17	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 1) = (𝑧 / 𝑤))
33	29, 31, 32	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = (𝑧 / 𝑤))
34	28, 33	breq12d 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
35	26, 34	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
36	13	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
37	7, 36	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	18	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39, 10	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
42	14, 16	recclapd 8677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
43	14, 16	recap0d 8678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) # 0)
44		apmul1 8684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑤) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) # 0)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
46	8, 14, 42	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))))
47	14, 16	recidapd 8679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 · (1 / 𝑤)) = 1)
48	47	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))) = (𝑥 · 1))
49	8	mulid1d 7916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = 𝑥)
51	50	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
52	45, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
53	19, 11, 42	mulassd 7922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
54	11, 14, 16	divrecapd 8689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) = (𝑧 · (1 / 𝑤)))
55	54	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
56	19, 17	mulcomd 7920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
58	57	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
59	52, 58	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
60		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
61		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
62	60, 61	breq12d 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
63	35, 59, 62	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 # 𝐵))
64		zapne 9265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
65	37, 40, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
66	63, 65	bitr3d 189	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
67	63	notbid 657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
68		apti 8520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
69	38, 41, 68	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
70		qcn 9572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	61, 17	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		apti 8520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
75	72, 73, 74	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
76	67, 69, 75	3bitr4d 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 = 𝐵))
77	76	necon3bid 2377	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
78	66, 77	bitrd 187	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
79	78	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
80	79	rexlimdvva 2591	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
82	81	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
83	82	rexlimdvva 2591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
84	3, 83	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  qltlen  9578  qlttri2  9579  qreccl  9580  qdivcl  9581  irrmul  9585  flqltnz  10222  modqmulnn  10277  qexpclz  10476  sqrt2irraplemnn  12111  pceu  12227  pcdiv  12234  pcqdiv  12239  pcexp  12241  pcaddlem  12270  qexpz  12282  apdiff  13927