Theorem qapne 9732

Description: Apartness is equivalent to not equal for rationals. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
qapne	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem qapne

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9715	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
4		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℚ)
5		elq 9715	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
6	4, 5	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
7		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝑤 ∈ ℕ)
13	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15		nnap0 9038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 # 0)
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 # 0)
17	11, 14, 16	divclapd 8836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) ∈ ℂ)
18		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
19	18	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 8066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ)
21		nnap0 9038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
22	18, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
23	19, 22	recclapd 8827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
24	19, 22	recap0d 8828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑦) # 0)
25		apmul1 8834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑦) # 0)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
26	8, 20, 23, 24, 25	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦))))
27	8, 19, 22	divrecapd 8839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) = (𝑥 · (1 / 𝑦)))
28	27	eqcomd 2202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (1 / 𝑦)) = (𝑥 / 𝑦))
29	17, 19, 23	mulassd 8069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))))
30	19, 22	recidapd 8829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (1 / 𝑦)) = 1)
31	30	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · (𝑦 · (1 / 𝑦))) = ((𝑧 / 𝑤) · 1))
32	17	mulridd 8062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑧 / 𝑤) · 1) = (𝑧 / 𝑤))
33	29, 31, 32	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) = (𝑧 / 𝑤))
34	28, 33	breq12d 4047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · (1 / 𝑦)) # (((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) · (1 / 𝑦)) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
35	26, 34	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦) ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
36	13	nnzd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑤 ∈ ℤ)
37	7, 36	zmulcld 9473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ)
38	37	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ)
39	18	nnzd 9466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℤ)
40	39, 10	zmulcld 9473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
41	40	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ)
42	14, 16	recclapd 8827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
43	14, 16	recap0d 8828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝑤) # 0)
44		apmul1 8834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝑤) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) # 0)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
45	38, 41, 42, 43, 44	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
46	8, 14, 42	mulassd 8069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))))
47	14, 16	recidapd 8829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑤 · (1 / 𝑤)) = 1)
48	47	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · (𝑤 · (1 / 𝑤))) = (𝑥 · 1))
49	8	mulridd 8062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
50	46, 48, 49	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) = 𝑥)
51	50	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (((𝑥 · 𝑤) · (1 / 𝑤)) # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤))))
53	19, 11, 42	mulassd 8069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
54	11, 14, 16	divrecapd 8839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑧 / 𝑤) = (𝑧 · (1 / 𝑤)))
55	54	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = (𝑦 · (𝑧 · (1 / 𝑤))))
56	19, 17	mulcomd 8067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑦 · (𝑧 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
57	53, 55, 56	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) = ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦))
58	57	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # ((𝑦 · 𝑧) · (1 / 𝑤)) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
59	52, 58	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝑥 # ((𝑧 / 𝑤) · 𝑦)))
60		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
61		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 = (𝑧 / 𝑤))
62	60, 61	breq12d 4047	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 / 𝑦) # (𝑧 / 𝑤)))
63	35, 59, 62	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 # 𝐵))
64		zapne 9419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
65	37, 40, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
66	63, 65	bitr3d 190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧)))
67	63	notbid 668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
68		apti 8668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
69	38, 41, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ ¬ (𝑥 · 𝑤) # (𝑦 · 𝑧)))
70		qcn 9727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
72	71	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
73	61, 17	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74		apti 8668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
75	72, 73, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 # 𝐵))
76	67, 69, 75	3bitr4d 220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) = (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 = 𝐵))
77	76	necon3bid 2408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → ((𝑥 · 𝑤) ≠ (𝑦 · 𝑧) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
78	66, 77	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
79	78	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
80	79	rexlimdvva 2622	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
81	6, 80	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤)) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
82	81	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
83	82	rexlimdvva 2622	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝐵 = (𝑧 / 𝑤) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵)))
84	3, 83	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   · cmul 7903   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  ℤcz 9345  ℚcq 9712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-q 9713

This theorem is referenced by:  qltlen  9733  qlttri2  9734  qreccl  9735  qdivcl  9736  irrmul  9740  irrmulap  9741  flqltnz  10396  modqmulnn  10453  qexpclz  10671  sqrt2irraplemnn  12374  pceu  12491  pcdiv  12498  pcqdiv  12503  pcexp  12505  pcaddlem  12535  qexpz  12548  apdiff  15805