Theorem rhmeql 14609

Description: The equalizer of two ring homomorphisms is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmeql	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem rhmeql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 14520	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2		rhmghm 14520	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		ghmeql 14121	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
7	5, 6	rhmmhm 14517	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
8	5, 6	rhmmhm 14517	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
9		mhmeql 13850	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
11		rhmrcl1 14513	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ Ring)
13	5	issubrg3 14606	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   MndHom cmhm 13815  SubMndcsubmnd 13816  SubGrpcsubg 14021   GrpHom cghm 14094  mulGrpcmgp 14268  Ringcrg 14351   RingHom crh 14508  SubRingcsubrg 14576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-sets 13410  df-iress 13411  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-0g 13663  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-mhm 13817  df-submnd 13818  df-grp 13859  df-minusg 13860  df-subg 14024  df-ghm 14095  df-mgp 14269  df-ur 14314  df-ring 14353  df-rhm 14510  df-subrg 14578

This theorem is used by: (None)