Theorem rhmeql 14560

Description: The equalizer of two ring homomorphisms is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rhmeql	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem rhmeql

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 14471	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2		rhmghm 14471	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3		ghmeql 14072	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆))
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
7	5, 6	rhmmhm 14468	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
8	5, 6	rhmmhm 14468	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
9		mhmeql 13801	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))
11		rhmrcl1 14464	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Ring)
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ Ring)
13	5	issubrg3 14557	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑆)))))
15	4, 10, 14	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇)) → dom (𝐹 ∩ 𝐺) ∈ (SubRing‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   MndHom cmhm 13766  SubMndcsubmnd 13767  SubGrpcsubg 13972   GrpHom cghm 14045  mulGrpcmgp 14219  Ringcrg 14302   RingHom crh 14459  SubRingcsubrg 14527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-submnd 13769  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-subg 13975  df-ghm 14046  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-rhm 14461  df-subrg 14529

This theorem is used by: (None)