Theorem ringsubdi 14150

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 8623 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ringsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringsubdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 14095	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringsubdi.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ringsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
9	7, 8	grpinvcl 13711	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		ringsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	7, 11, 12	ringdi 14112	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
15	7, 12, 8, 1, 2, 6	ringmneg2 14148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
16	15	oveq2d 6044	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
17	14, 16	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
18		ringsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
19	7, 11, 8, 18	grpsubval 13709	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
20	3, 6, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
21	20	oveq2d 6044	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))))
22	7, 12	ringcl 14107	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 2, 3, 22	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
24	7, 12	ringcl 14107	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	1, 2, 6, 24	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
26	7, 11, 8, 18	grpsubval 13709	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
28	17, 21, 27	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13162  +_gcplusg 13240  ._rcmulr 13241  Grpcgrp 13663  inv_gcminusg 13664  -_gcsg 13665  Ringcrg 14090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092

This theorem is referenced by: (None)