Theorem ringsubdi 13375

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 8361 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
ringsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ringsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringsubdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 13322	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringsubdi.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ringsubdi.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2189	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
9	7, 8	grpinvcl 12964	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10	5, 6, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
11		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
12		ringsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	7, 11, 12	ringdi 13339	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
15	7, 12, 8, 1, 2, 6	ringmneg2 13373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
16	15	oveq2d 5907	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
17	14, 16	eqtrd 2222	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
18		ringsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
19	7, 11, 8, 18	grpsubval 12962	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
20	3, 6, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
21	20	oveq2d 5907	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))))
22	7, 12	ringcl 13334	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 2, 3, 22	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
24	7, 12	ringcl 13334	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	1, 2, 6, 24	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
26	7, 11, 8, 18	grpsubval 12962	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
28	17, 21, 27	3eqtr4d 2232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  +_gcplusg 12561  ._rcmulr 12562  Grpcgrp 12917  inv_gcminusg 12918  -_gcsg 12919  Ringcrg 13317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319

This theorem is referenced by: (None)