ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringsubdi GIF version

Theorem ringsubdi 13291
Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 8355 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringsubdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringsubdi.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringsubdi.m โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
ringsubdi.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringsubdi.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringsubdi.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
ringsubdi.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringsubdi (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)))

Proof of Theorem ringsubdi
StepHypRef Expression
1 ringsubdi.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringsubdi.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 ringsubdi.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringgrp 13238 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
51, 4syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
6 ringsubdi.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
7 ringsubdi.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
8 eqid 2187 . . . . . 6 (invgโ€˜๐‘…) = (invgโ€˜๐‘…)
97, 8grpinvcl 12942 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
105, 6, 9syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
11 eqid 2187 . . . . 5 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
12 ringsubdi.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
137, 11, 12ringdi 13255 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
141, 2, 3, 10, 13syl13anc 1250 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
157, 12, 8, 1, 2, 6ringmneg2 13289 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)) = ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘)))
1615oveq2d 5904 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
1714, 16eqtrd 2220 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
18 ringsubdi.m . . . . 5 โˆ’ = (-gโ€˜๐‘…)
197, 11, 8, 18grpsubval 12940 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
203, 6, 19syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘) = (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘)))
2120oveq2d 5904 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜๐‘))))
227, 12ringcl 13250 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
231, 2, 3, 22syl3anc 1248 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
247, 12ringcl 13250 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
251, 2, 6, 24syl3anc 1248 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
267, 11, 8, 18grpsubval 12940 . . 3 (((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
2723, 25, 26syl2anc 411 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)((invgโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘))))
2817, 21, 273eqtr4d 2230 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐‘‹ ยท ๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  .rcmulr 12551  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  -gcsg 12898  Ringcrg 13233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator