Theorem fprodrpcl 11573

Description: Closure of a finite product of positive reals. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodrpcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
fprodrpcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ+)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodrpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9620	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-resscn 7865	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3156	. . 3 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℂ)
5		rpmulcl 9634	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
6	5	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
7		fprodcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fprodrpcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		1rp 9613	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
11	4, 6, 7, 8, 10	fprodcllem 11568	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121  (class class class)co 5852  Fincfn 6717  ℂcc 7771  ℝcr 7772  1c1 7774   · cmul 7778  ℝ⁺crp 9609  ∏cprod 11512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4103  ax-sep 4106  ax-nul 4114  ax-pow 4159  ax-pr 4193  ax-un 4417  ax-setind 4520  ax-iinf 4571  ax-cnex 7864  ax-resscn 7865  ax-1cn 7866  ax-1re 7867  ax-icn 7868  ax-addcl 7869  ax-addrcl 7870  ax-mulcl 7871  ax-mulrcl 7872  ax-addcom 7873  ax-mulcom 7874  ax-addass 7875  ax-mulass 7876  ax-distr 7877  ax-i2m1 7878  ax-0lt1 7879  ax-1rid 7880  ax-0id 7881  ax-rnegex 7882  ax-precex 7883  ax-cnre 7884  ax-pre-ltirr 7885  ax-pre-ltwlin 7886  ax-pre-lttrn 7887  ax-pre-apti 7888  ax-pre-ltadd 7889  ax-pre-mulgt0 7890  ax-pre-mulext 7891  ax-arch 7892  ax-caucvg 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3567  df-sn 3588  df-pr 3589  df-op 3591  df-uni 3796  df-int 3831  df-iun 3874  df-br 3989  df-opab 4050  df-mpt 4051  df-tr 4087  df-id 4277  df-po 4280  df-iso 4281  df-iord 4350  df-on 4352  df-ilim 4353  df-suc 4355  df-iom 4574  df-xp 4616  df-rel 4617  df-cnv 4618  df-co 4619  df-dm 4620  df-rn 4621  df-res 4622  df-ima 4623  df-iota 5159  df-fun 5199  df-fn 5200  df-f 5201  df-f1 5202  df-fo 5203  df-f1o 5204  df-fv 5205  df-isom 5206  df-riota 5808  df-ov 5855  df-oprab 5856  df-mpo 5857  df-1st 6118  df-2nd 6119  df-recs 6283  df-irdg 6348  df-frec 6369  df-1o 6394  df-oadd 6398  df-er 6512  df-en 6718  df-dom 6719  df-fin 6720  df-pnf 7955  df-mnf 7956  df-xr 7957  df-ltxr 7958  df-le 7959  df-sub 8091  df-neg 8092  df-reap 8493  df-ap 8500  df-div 8589  df-inn 8878  df-2 8936  df-3 8937  df-4 8938  df-n0 9135  df-z 9212  df-uz 9487  df-q 9578  df-rp 9610  df-fz 9965  df-fzo 10098  df-seqfrec 10401  df-exp 10475  df-ihash 10709  df-cj 10805  df-re 10806  df-im 10807  df-rsqrt 10961  df-abs 10962  df-clim 11241  df-proddc 11513

This theorem is referenced by: (None)