Theorem cosz12 15448

Description: Cosine has a zero between 1 and 2. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 7-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosz12	⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0

Proof of Theorem cosz12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8157	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		2re 9176	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
4		0red 8143	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
5		1lt2 9276	. . . 4 ⊢ 1 < 2
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 < 2)
7		1re 8141	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		iccssre 10147	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (1[,]2) ⊆ ℝ)
9	7, 2, 8	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℝ
10		ax-resscn 8087	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
11	9, 10	sstri 3233	. . . 4 ⊢ (1[,]2) ⊆ ℂ
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (1[,]2) ⊆ ℂ)
13		coscn 15438	. . . 4 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	9	sseli 3220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,]2) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	15	recoscld 12230	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,]2) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,]2)) → (cos‘𝑥) ∈ ℝ)
18		sincos2sgn 12272	. . . . . 6 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
19	18	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (cos‘2) < 0
20		sincos1sgn 12271	. . . . . 6 ⊢ (0 < (sin‘1) ∧ 0 < (cos‘1))
21	20	simpri 113	. . . . 5 ⊢ 0 < (cos‘1)
22	19, 21	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ ((cos‘2) < 0 ∧ 0 < (cos‘1))
23	22	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((cos‘2) < 0 ∧ 0 < (cos‘1)))
24		cos12dec 12274	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,]2) ∧ 𝑦 ∈ (1[,]2) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
25	24	3expb 1228	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (1[,]2) ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
26	25	adantll 476	. . 3 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (1[,]2)) ∧ (𝑦 ∈ (1[,]2) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (cos‘𝑦) < (cos‘𝑥))
27	1, 3, 4, 6, 12, 14, 17, 23, 26	ivthdec 15312	. 2 ⊢ (⊤ → ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0)
28	27	mptru 1404	1 ⊢ ∃𝑝 ∈ (1(,)2)(cos‘𝑝) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   < clt 8177  2c2 9157  (,)cioo 10080  [,]cicc 10083  sincsin 12150  cosccos 12151  –cn→ccncf 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  sin0pilem1  15449