Theorem uhgredgm 16582

Description: An edge of a hypergraph is an inhabited subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgm	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐸))

Distinct variable group:   𝑥,𝐸

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem uhgredgm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 16505	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrfm 16519	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑦 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦})
5	4	frnd 5546	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑦 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦})
6	1, 5	eqsstrd 3284	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑦 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦})
7	6	sselda 3248	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦})
8		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝐸))
9	8	exbidv 1878	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐸 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐸))
10	9	elrab 2982	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑦} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐸))
11	7, 10	sylib 122	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532  𝒫 cpw 3688  dom cdm 4776  ran crn 4777  ‘cfv 5380  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Edgcedg 16503  UHGraphcuhgr 16513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fo 5386  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515

This theorem is used by:  edguhgr  16583