Theorem 3dim0 39460

Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim0	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   ≤ (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		3dim0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	athgt 39459	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
5		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6		simpll1 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 1, 3	hlatjcl 39369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
11		3dim0.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 39413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
13	6, 9, 10, 12	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
15	6	hllatd 39366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
16	7, 3	atbase 39291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
18	7, 1	latjcl 18485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
19	15, 9, 17, 18	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ 𝐴)
21	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 39413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
22	6, 19, 20, 21	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	14, 22	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	5, 23	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
25	24	rexbidva 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		r19.42v 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
27		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
28	26, 27	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
29	25, 28	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
30	29	rexbidva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
31		r19.42v 3190	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
32	30, 31	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	1, 2, 3	atcvr1 39420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
35	32, 34	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
36	35	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	36	2rexbidva 3219	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
38	4, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477   ⋖ ccvr 39264  Atomscatm 39265  HLchlt 39352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353

This theorem is referenced by:  3dim1  39470