Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim0 38316
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ≀ (𝑠,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3athgt 38315 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5 df-3an 1089 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
87, 1, 3hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 ≀ = (leβ€˜πΎ)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 38269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
1413anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
156hllatd 38222 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
167, 3atbase 38147 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1716ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
187, 1latjcl 18388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1915, 9, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
217, 11, 1, 2, 3cvr1 38269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
2314, 22anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
245, 23bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2524rexbidva 3176 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
26 r19.42v 3190 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
27 anass 469 . . . . . . . . 9 (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2826, 27bitri 274 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2925, 28bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3029rexbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
31 r19.42v 3190 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
3230, 31bitrdi 286 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
331, 2, 3atcvr1 38276 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 β‰  π‘ž ↔ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž)))
3433anbi1d 630 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3532, 34bitrd 278 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
36353expb 1120 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
37362rexbidva 3217 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
384, 37mpbird 256 1 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  3dim1  38326
  Copyright terms: Public domain W3C validator