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Theorem 3dim0 39460
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2736 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3athgt 39459 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5 df-3an 1088 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
6 simpll1 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 1, 3hlatjcl 39369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
98ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 = (le‘𝐾)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 39413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟))))
156hllatd 39366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
167, 3atbase 39291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1716ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
187, 1latjcl 18485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
1915, 9, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
217, 11, 1, 2, 3cvr1 39413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
2314, 22anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
245, 23bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2524rexbidva 3176 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
26 r19.42v 3190 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
27 anass 468 . . . . . . . . 9 (((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2826, 27bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2925, 28bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3029rexbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
31 r19.42v 3190 . . . . . 6 (∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3230, 31bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
331, 2, 3atcvr1 39420 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞)))
3433anbi1d 631 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3532, 34bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
36353expb 1120 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
37362rexbidva 3219 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
384, 37mpbird 257 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477  ccvr 39264  Atomscatm 39265  HLchlt 39352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353
This theorem is referenced by:  3dim1  39470
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