Theorem 3dim0 39439

Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim0	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   ≤ (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		3dim0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	athgt 39438	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
5		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 1, 3	hlatjcl 39348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
11		3dim0.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 39392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
13	6, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
14	13	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
15	6	hllatd 39345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
16	7, 3	atbase 39270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
18	7, 1	latjcl 18363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
19	15, 9, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ 𝐴)
21	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 39392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
22	6, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	14, 22	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	5, 23	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
25	24	rexbidva 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		r19.42v 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
27		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
28	26, 27	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
29	25, 28	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
30	29	rexbidva 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
31		r19.42v 3161	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
32	30, 31	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	1, 2, 3	atcvr1 39399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
35	32, 34	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
36	35	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	36	2rexbidva 3192	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
38	4, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  joincjn 18235  Latclat 18355   ⋖ ccvr 39243  Atomscatm 39244  HLchlt 39331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-lub 18268  df-glb 18269  df-join 18270  df-meet 18271  df-p0 18347  df-p1 18348  df-lat 18356  df-clat 18423  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332

This theorem is referenced by:  3dim1  39449