Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim0 38831
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ≀ (𝑠,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3athgt 38830 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
87, 1, 3hlatjcl 38740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
98ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 ≀ = (leβ€˜πΎ)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 38784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
1413anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
156hllatd 38737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
167, 3atbase 38662 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1716ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
187, 1latjcl 18400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1915, 9, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
217, 11, 1, 2, 3cvr1 38784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
2314, 22anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
245, 23bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2524rexbidva 3168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
26 r19.42v 3182 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
27 anass 468 . . . . . . . . 9 (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2826, 27bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2925, 28bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3029rexbidva 3168 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
31 r19.42v 3182 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
3230, 31bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
331, 2, 3atcvr1 38791 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 β‰  π‘ž ↔ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž)))
3433anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3532, 34bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
36353expb 1117 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
37362rexbidva 3209 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
384, 37mpbird 257 1 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18272  Latclat 18392   β‹– ccvr 38635  Atomscatm 38636  HLchlt 38723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724
This theorem is referenced by:  3dim1  38841
  Copyright terms: Public domain W3C validator