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Theorem 3dim0 36592
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3athgt 36591 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5 df-3an 1085 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
6 simpll1 1208 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 1, 3hlatjcl 36502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
98ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 = (le‘𝐾)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 36545 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟))))
156hllatd 36499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
167, 3atbase 36424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1716ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
187, 1latjcl 17660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
1915, 9, 17, 18syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
20 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
217, 11, 1, 2, 3cvr1 36545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
2314, 22anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
245, 23syl5bb 285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2524rexbidva 3296 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
26 r19.42v 3350 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
27 anass 471 . . . . . . . . 9 (((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2826, 27bitri 277 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2925, 28syl6bb 289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3029rexbidva 3296 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
31 r19.42v 3350 . . . . . 6 (∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3230, 31syl6bb 289 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
331, 2, 3atcvr1 36552 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞)))
3433anbi1d 631 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3532, 34bitrd 281 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
36353expb 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
37362rexbidva 3299 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
384, 37mpbird 259 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  lecple 16571  joincjn 17553  Latclat 17654  ccvr 36397  Atomscatm 36398  HLchlt 36485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486
This theorem is referenced by:  3dim1  36602
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