Proof of Theorem 3dim0
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 3dim0.j | . . 3
⊢  ∨ =
(join‘𝐾) | 
| 2 |  | eqid 2736 | . . 3
⊢ ( ⋖
‘𝐾) = ( ⋖
‘𝐾) | 
| 3 |  | 3dim0.a | . . 3
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) | 
| 4 | 1, 2, 3 | athgt 39459 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 5 |  | df-3an 1088 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) | 
| 6 |  | simpll1 1212 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL) | 
| 7 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) | 
| 8 | 7, 1, 3 | hlatjcl 39369 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 9 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 10 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴) | 
| 11 |  | 3dim0.l | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢  ≤ =
(le‘𝐾) | 
| 12 | 7, 11, 1, 2, 3 | cvr1 39413 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) | 
| 13 | 6, 9, 10, 12 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) | 
| 14 | 13 | anbi2d 630 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))) | 
| 15 | 6 | hllatd 39366 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat) | 
| 16 | 7, 3 | atbase 39291 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 17 | 16 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 18 | 7, 1 | latjcl 18485 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 19 | 15, 9, 17, 18 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾)) | 
| 20 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ 𝐴) | 
| 21 | 7, 11, 1, 2, 3 | cvr1 39413 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) | 
| 22 | 6, 19, 20, 21 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) | 
| 23 | 14, 22 | anbi12d 632 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 24 | 5, 23 | bitrid 283 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 25 | 24 | rexbidva 3176 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 26 |  | r19.42v 3190 | . . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) | 
| 27 |  | anass 468 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 28 | 26, 27 | bitri 275 | . . . . . . . 8
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 29 | 25, 28 | bitrdi 287 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 30 | 29 | rexbidva 3176 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 31 |  | r19.42v 3190 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))) | 
| 32 | 30, 31 | bitrdi 287 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 33 | 1, 2, 3 | atcvr1 39420 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞))) | 
| 34 | 33 | anbi1d 631 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 35 | 32, 34 | bitrd 279 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 36 | 35 | 3expb 1120 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 37 | 36 | 2rexbidva 3219 | . 2
⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))) | 
| 38 | 4, 37 | mpbird 257 | 1
⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))) |