Theorem 3dim0 40494

Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dim0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3dim0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3dim0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3dim0	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ∨ ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞, 𝑝)   ≤ (𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem 3dim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dim0.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		3dim0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	athgt 40493	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
5		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
6		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8	7, 1, 3	hlatjcl 40404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
11		3dim0.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 40447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
13	6, 9, 10, 12	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ↔ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟))))
15	6	hllatd 40401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
16	7, 3	atbase 40326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ 𝐴 → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
17	16	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
18	7, 1	latjcl 18606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
19	15, 9, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
20		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → 𝑠 ∈ 𝐴)
21	7, 11, 1, 2, 3	cvr1 40447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
22	6, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ↔ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
23	14, 22	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
24	5, 23	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
25	24	rexbidva 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
26		r19.42v 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
27		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
28	26, 27	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
29	25, 28	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → (∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
30	29	rexbidva 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
31		r19.42v 3195	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
32	30, 31	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
33	1, 2, 3	atcvr1 40454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞)))
34	33	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
35	32, 34	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
36	35	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
37	36	2rexbidva 3226	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))))
38	4, 37	mpbird 260	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ((𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  lecple 17428  joincjn 18478  Latclat 18598   ⋖ ccvr 40299  Atomscatm 40300  HLchlt 40387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388

This theorem is used by:  3dim1  40504