Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim0 38930
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝑠,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   𝐾,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   ∨ (π‘ž,𝑝)   ≀ (𝑠,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)
Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3athgt 38929 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
5 df-3an 1087 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
6 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
87, 1, 3hlatjcl 38839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 ≀ = (leβ€˜πΎ)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 38883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ↔ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
1413anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ))))
156hllatd 38836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
167, 3atbase 38761 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ ∈ 𝐴 β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
187, 1latjcl 18430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∨ π‘ž) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1915, 9, 17, 18syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
217, 11, 1, 2, 3cvr1 38883 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ↔ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
2314, 22anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
245, 23bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2524rexbidva 3173 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
26 r19.42v 3187 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
27 anass 468 . . . . . . . . 9 (((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2826, 27bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ (𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
2925, 28bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3029rexbidva 3173 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
31 r19.42v 3187 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
3230, 31bitrdi 287 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
331, 2, 3atcvr1 38890 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑝 β‰  π‘ž ↔ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž)))
3433anbi1d 630 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
3532, 34bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
36353expb 1118 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
37362rexbidva 3214 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝( β‹– β€˜πΎ)(𝑝 ∨ π‘ž) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž)( β‹– β€˜πΎ)((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)( β‹– β€˜πΎ)(((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))))
384, 37mpbird 257 1 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑝 ∨ π‘ž) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑝 ∨ π‘ž) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Latclat 18422   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  3dim1  38940
  Copyright terms: Public domain W3C validator