Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4at2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4at2 36302
Description: Four atoms determine a lattice volume uniquely. (Contributed by NM, 11-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4at2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊)))

Proof of Theorem 4at2
StepHypRef Expression
1 4at.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 4at.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 4at.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 34at 36301 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
5 simp11 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
65hllatd 36052 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 2, 3hlatjcl 36055 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
983ad2ant1 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
10 simp21 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑅𝐴)
117, 3atbase 35977 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp22 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑆𝐴)
147, 3atbase 35977 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
167, 2latjass 17538 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
176, 9, 12, 15, 16syl13anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
18 simp23 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑇𝐴)
19 simp31 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑈𝐴)
207, 2, 3hlatjcl 36055 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
215, 18, 19, 20syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp32 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑉𝐴)
237, 3atbase 35977 . . . . . 6 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
25 simp33 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑊𝐴)
267, 3atbase 35977 . . . . . 6 (𝑊𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
287, 2latjass 17538 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
296, 21, 24, 27, 28syl13anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊)))
3017, 29breq12d 4981 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3130adantr 481 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3217, 29eqeq12d 2812 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
3332adantr 481 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑇 𝑈) (𝑉 𝑊))))
344, 31, 333bitr4d 312 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑈𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = (((𝑇 𝑈) 𝑉) 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986   class class class wbr 4968  cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  lecple 16405  joincjn 17387  Latclat 17488  Atomscatm 35951  HLchlt 36038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-llines 36186  df-lplanes 36187  df-lvols 36188
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  36303
  Copyright terms: Public domain W3C validator