Theorem dfac13 10065

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3446	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		acacni 10063	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
3	2	elvd 3448	. . . 4 ⊢ (CHOICE → AC 𝑥 = V)
4	1, 3	eleqtrrid 2844	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ AC 𝑥)
5	4	alrimiv 1929	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)
6		vpwex 5324	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → 𝑥 = 𝒫 𝑧)
8		acneq 9965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
9	7, 8	eleq12d 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥 ∈ AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
10	6, 9	spcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
11		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
13	12	canth2 9070	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14		sdomdom 8929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧 → 𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15		acndom2 9976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
17		acnnum 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ dom card)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ dom card)
19		numacn 9971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧 ∈ AC 𝑦))
20	11, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
21	10, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
22	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ V)
23	21, 22	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → (𝑧 ∈ AC 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ V))
24	23	eqrdv 2735	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → AC 𝑦 = V)
25	24	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26		dfacacn 10064	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → CHOICE)
28	5, 27	impbii 209	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9859  AC wacn 9862  CHOICEwac 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038

This theorem is referenced by: (None)