Theorem dfac13 10103

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		acacni 10101	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
3	2	elvd 3456	. . . 4 ⊢ (CHOICE → AC 𝑥 = V)
4	1, 3	eleqtrrid 2836	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ AC 𝑥)
5	4	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)
6		vpwex 5335	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → 𝑥 = 𝒫 𝑧)
8		acneq 10003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
9	7, 8	eleq12d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥 ∈ AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
10	6, 9	spcv 3574	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
11		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
13	12	canth2 9100	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14		sdomdom 8954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧 → 𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15		acndom2 10014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
17		acnnum 10012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ dom card)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ dom card)
19		numacn 10009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧 ∈ AC 𝑦))
20	11, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
21	10, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
22	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ V)
23	21, 22	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → (𝑧 ∈ AC 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ V))
24	23	eqrdv 2728	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → AC 𝑦 = V)
25	24	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26		dfacacn 10102	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → CHOICE)
28	5, 27	impbii 209	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920  cardccrd 9895  AC wacn 9898  CHOICEwac 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076

This theorem is referenced by: (None)