MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac13 10184
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3483 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 acacni 10182 . . . . 5 ((CHOICE𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
32elvd 3485 . . . 4 (CHOICEAC 𝑥 = V)
41, 3eleqtrrid 2847 . . 3 (CHOICE𝑥AC 𝑥)
54alrimiv 1926 . 2 (CHOICE → ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
6 vpwex 5376 . . . . . . . 8 𝒫 𝑧 ∈ V
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧𝑥 = 𝒫 𝑧)
8 acneq 10084 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
97, 8eleq12d 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧))
106, 9spcv 3604 . . . . . . 7 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧)
11 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
12 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1312canth2 9171 . . . . . . . . . 10 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14 sdomdom 9021 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15 acndom2 10095 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧)
17 acnnum 10093 . . . . . . . . 9 (𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
1816, 17sylib 218 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
19 numacn 10090 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧AC 𝑦))
2011, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝑦)
2110, 20syl 17 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧AC 𝑦)
2212a1i 11 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧 ∈ V)
2321, 222thd 265 . . . . 5 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → (𝑧AC 𝑦𝑧 ∈ V))
2423eqrdv 2734 . . . 4 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥AC 𝑦 = V)
2524alrimiv 1926 . . 3 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26 dfacacn 10183 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
2725, 26sylibr 234 . 2 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥CHOICE)
285, 27impbii 209 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  cdom 8984  csdm 8985  cardccrd 9976  AC wacn 9979  CHOICEwac 10156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator