MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac13 10181
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 acacni 10179 . . . . 5 ((CHOICE𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
32elvd 3484 . . . 4 (CHOICEAC 𝑥 = V)
41, 3eleqtrrid 2846 . . 3 (CHOICE𝑥AC 𝑥)
54alrimiv 1925 . 2 (CHOICE → ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
6 vpwex 5383 . . . . . . . 8 𝒫 𝑧 ∈ V
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧𝑥 = 𝒫 𝑧)
8 acneq 10081 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
97, 8eleq12d 2833 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧))
106, 9spcv 3605 . . . . . . 7 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧)
11 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
12 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1312canth2 9169 . . . . . . . . . 10 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14 sdomdom 9019 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15 acndom2 10092 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧)
17 acnnum 10090 . . . . . . . . 9 (𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
1816, 17sylib 218 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
19 numacn 10087 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧AC 𝑦))
2011, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝑦)
2110, 20syl 17 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧AC 𝑦)
2212a1i 11 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧 ∈ V)
2321, 222thd 265 . . . . 5 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → (𝑧AC 𝑦𝑧 ∈ V))
2423eqrdv 2733 . . . 4 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥AC 𝑦 = V)
2524alrimiv 1925 . . 3 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26 dfacacn 10180 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
2725, 26sylibr 234 . 2 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥CHOICE)
285, 27impbii 209 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cdom 8982  csdm 8983  cardccrd 9973  AC wacn 9976  CHOICEwac 10153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator