Theorem dfac13 10231

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		acacni 10229	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
3	2	elvd 3459	. . . 4 ⊢ (CHOICE → AC 𝑥 = V)
4	1, 3	eleqtrrid 2870	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ AC 𝑥)
5	4	alrimiv 1961	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)
6		vpwex 5342	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
7		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → 𝑥 = 𝒫 𝑧)
8		acneq 10132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
9	7, 8	eleq12d 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥 ∈ AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
10	6, 9	spcv 3562	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
11		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
13	12	canth2 9160	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14		sdomdom 9018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧 → 𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15		acndom2 10143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
17		acnnum 10141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ dom card)
18	16, 17	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ dom card)
19		numacn 10138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧 ∈ AC 𝑦))
20	11, 18, 19	mpsyl 69	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
21	10, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
22	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ V)
23	21, 22	2thd 268	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → (𝑧 ∈ AC 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ V))
24	23	eqrdv 2761	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → AC 𝑦 = V)
25	24	alrimiv 1961	. . 3 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26		dfacacn 10230	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
27	25, 26	sylibr 237	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → CHOICE)
28	5, 27	impbii 212	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5105  dom cdm 5654   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983  cardccrd 10026  AC wacn 10029  CHOICEwac 10204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-acn 10033  df-ac 10205

This theorem is used by: (None)