MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfac13 10137
Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfac13 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . 4 𝑥 ∈ V
2 acacni 10135 . . . . 5 ((CHOICE𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
32elvd 3482 . . . 4 (CHOICEAC 𝑥 = V)
41, 3eleqtrrid 2841 . . 3 (CHOICE𝑥AC 𝑥)
54alrimiv 1931 . 2 (CHOICE → ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
6 vpwex 5376 . . . . . . . 8 𝒫 𝑧 ∈ V
7 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧𝑥 = 𝒫 𝑧)
8 acneq 10038 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝒫 𝑧AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
97, 8eleq12d 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧))
106, 9spcv 3596 . . . . . . 7 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → 𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧)
11 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
12 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1312canth2 9130 . . . . . . . . . 10 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14 sdomdom 8976 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15 acndom2 10049 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧))
1613, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝒫 𝑧)
17 acnnum 10047 . . . . . . . . 9 (𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
1816, 17sylib 217 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧 ∈ dom card)
19 numacn 10044 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧AC 𝑦))
2011, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝒫 𝑧AC 𝒫 𝑧𝑧AC 𝑦)
2110, 20syl 17 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧AC 𝑦)
2212a1i 11 . . . . . 6 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥𝑧 ∈ V)
2321, 222thd 265 . . . . 5 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → (𝑧AC 𝑦𝑧 ∈ V))
2423eqrdv 2731 . . . 4 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥AC 𝑦 = V)
2524alrimiv 1931 . . 3 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26 dfacacn 10136 . . 3 (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
2725, 26sylibr 233 . 2 (∀𝑥 𝑥AC 𝑥CHOICE)
285, 27impbii 208 1 (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥AC 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  cdom 8937  csdm 8938  cardccrd 9930  AC wacn 9933  CHOICEwac 10110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator