Theorem dfac13 10162

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3468	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		acacni 10160	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
3	2	elvd 3470	. . . 4 ⊢ (CHOICE → AC 𝑥 = V)
4	1, 3	eleqtrrid 2842	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ AC 𝑥)
5	4	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)
6		vpwex 5352	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → 𝑥 = 𝒫 𝑧)
8		acneq 10062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
9	7, 8	eleq12d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥 ∈ AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
10	6, 9	spcv 3589	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
11		vex 3468	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
13	12	canth2 9149	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14		sdomdom 8999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧 → 𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15		acndom2 10073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
17		acnnum 10071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ dom card)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ dom card)
19		numacn 10068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧 ∈ AC 𝑦))
20	11, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
21	10, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
22	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ V)
23	21, 22	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → (𝑧 ∈ AC 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ V))
24	23	eqrdv 2734	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → AC 𝑦 = V)
25	24	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26		dfacacn 10161	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → CHOICE)
28	5, 27	impbii 209	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5124  dom cdm 5659   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  cardccrd 9954  AC wacn 9957  CHOICEwac 10134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-acn 9961  df-ac 10135

This theorem is referenced by: (None)