Theorem dfac13 10034

Description: The axiom of choice holds iff every set has choice sequences as long as itself. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac13	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Proof of Theorem dfac13

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		acacni 10032	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝑥 ∈ V) → AC 𝑥 = V)
3	2	elvd 3442	. . . 4 ⊢ (CHOICE → AC 𝑥 = V)
4	1, 3	eleqtrrid 2838	. . 3 ⊢ (CHOICE → 𝑥 ∈ AC 𝑥)
5	4	alrimiv 1928	. 2 ⊢ (CHOICE → ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)
6		vpwex 5313	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 𝑧 ∈ V
7		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → 𝑥 = 𝒫 𝑧)
8		acneq 9934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → AC 𝑥 = AC 𝒫 𝑧)
9	7, 8	eleq12d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝒫 𝑧 → (𝑥 ∈ AC 𝑥 ↔ 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
10	6, 9	spcv 3555	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
11		vex 3440	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
12		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
13	12	canth2 9043	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ≺ 𝒫 𝑧
14		sdomdom 8902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≺ 𝒫 𝑧 → 𝑧 ≼ 𝒫 𝑧)
15		acndom2 9945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ≼ 𝒫 𝑧 → (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧)
17		acnnum 9943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ dom card)
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ dom card)
19		numacn 9940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ dom card → 𝑧 ∈ AC 𝑦))
20	11, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑧 ∈ AC 𝒫 𝑧 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
21	10, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ AC 𝑦)
22	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → 𝑧 ∈ V)
23	21, 22	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → (𝑧 ∈ AC 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ V))
24	23	eqrdv 2729	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → AC 𝑦 = V)
25	24	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → ∀𝑦AC 𝑦 = V)
26		dfacacn 10033	. . 3 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑦AC 𝑦 = V)
27	25, 26	sylibr 234	. 2 ⊢ (∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥 → CHOICE)
28	5, 27	impbii 209	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ AC 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   ≼ cdom 8867   ≺ csdm 8868  cardccrd 9828  AC wacn 9831  CHOICEwac 10006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007

This theorem is referenced by: (None)