Theorem addcutslem 28396

Description: Lemma for addcuts 28397. Show the statement with some additional distinct variable conditions. (Contributed by Scott Fenton, 8-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcutslem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
addcutslem.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
addcutslem	⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ (L‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ (L‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ (R‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ (R‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))

Distinct variable groups:   𝑋,𝑙,𝑚   𝑌,𝑙,𝑚   𝜑,𝑝,𝑤   𝑌,𝑝,𝑤   𝜑,𝑙,𝑞,𝑟,𝑠,𝑚   𝑝,𝑙,𝑞,𝑠,𝑌,𝑟   𝑡,𝑌,𝑞,𝑟,𝑠   𝑋,𝑝,𝑟,𝑤   𝑋,𝑞,𝑠,𝑡   𝜑,𝑡

Proof of Theorem addcutslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsprop 28395	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No) → ((𝑥 +s 𝑦) ∈ No ∧ (𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 +s 𝑥) <s (𝑧 +s 𝑥))))
2	1	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No) → ((((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑦)) ∪ ((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑧))) ∈ (((bday‘𝑋) +no (bday‘𝑌)) ∪ ((bday‘𝑋) +no (bday‘ 0s ))) → ((𝑥 +s 𝑦) ∈ No ∧ (𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 +s 𝑥) <s (𝑧 +s 𝑥)))))
3	2	rgen3 3211	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No ((((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑦)) ∪ ((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑧))) ∈ (((bday‘𝑋) +no (bday‘𝑌)) ∪ ((bday‘𝑋) +no (bday‘ 0s ))) → ((𝑥 +s 𝑦) ∈ No ∧ (𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 +s 𝑥) <s (𝑧 +s 𝑥))))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ No ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No ((((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑦)) ∪ ((bday‘𝑥) +no (bday‘𝑧))) ∈ (((bday‘𝑋) +no (bday‘𝑌)) ∪ ((bday‘𝑋) +no (bday‘ 0s ))) → ((𝑥 +s 𝑦) ∈ No ∧ (𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 +s 𝑥) <s (𝑧 +s 𝑥)))))
5		addcutslem.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
6		addcutslem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ No)
7	4, 5, 6	addsproplem3 28390	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 +s 𝑌) ∈ No ∧ ({𝑝 ∣ ∃𝑙 ∈ (L‘𝑋)𝑝 = (𝑙 +s 𝑌)} ∪ {𝑞 ∣ ∃𝑚 ∈ (L‘𝑌)𝑞 = (𝑋 +s 𝑚)}) <<s {(𝑋 +s 𝑌)} ∧ {(𝑋 +s 𝑌)} <<s ({𝑤 ∣ ∃𝑟 ∈ (R‘𝑋)𝑤 = (𝑟 +s 𝑌)} ∪ {𝑡 ∣ ∃𝑠 ∈ (R‘𝑌)𝑡 = (𝑋 +s 𝑠)})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   +no cnadd 8705  Nocsur 28030   <s clts 28031  bdaycbday 28032   <<s cslts 28176   0_s c0s 28224  Lcleft 28244  Rcright 28245   +_s cadds 28378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8706  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-0s 28226  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250  df-norec2 28368  df-adds 28379

This theorem is used by:  addcuts  28397