Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addsfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsfn 34270
Description: Surreal addition is a function over pairs of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
addsfn +s Fn ( No × No )

Proof of Theorem addsfn
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-adds 34269 . 2 +s = norec2 ((𝑥 ∈ V, 𝑎 ∈ V ↦ (({𝑦 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘(1st𝑥))𝑦 = (𝑙𝑎(2nd𝑥))} ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑙 ∈ ( L ‘(2nd𝑥))𝑧 = ((1st𝑥)𝑎𝑙)}) |s ({𝑦 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘(1st𝑥))𝑦 = (𝑟𝑎(2nd𝑥))} ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑟 ∈ ( R ‘(2nd𝑥))𝑧 = ((1st𝑥)𝑎𝑟)}))))
21norec2fn 34265 1 +s Fn ( No × No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  {cab 2715  wrex 3072  Vcvv 3444  cun 3907   × cxp 5630   Fn wfn 6489  cfv 6494  (class class class)co 7352  cmpo 7354  1st c1st 7912  2nd c2nd 7913   No csur 26940   |s cscut 27074   L cleft 27127   R cright 27128   +s cadds 34268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 26943  df-slt 26944  df-bday 26945  df-sslt 27073  df-scut 27075  df-made 27129  df-old 27130  df-left 27132  df-right 27133  df-norec2 34258  df-adds 34269
This theorem is referenced by:  addsval  34271  addsf  34289
  Copyright terms: Public domain W3C validator