Theorem addsf 27945

Description: Function statement for surreal addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addsf	⊢ +s :( No × No )⟶ No

Proof of Theorem addsf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsfn 27924	. 2 ⊢ +s Fn ( No × No )
2		addscl 27944	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No ) → (𝑦 +s 𝑧) ∈ No )
3	2	rgen2 3187	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No (𝑦 +s 𝑧) ∈ No
4		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( +s ‘𝑥) = ( +s ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
5		df-ov 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 +s 𝑧) = ( +s ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
6	4, 5	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( +s ‘𝑥) = (𝑦 +s 𝑧))
7	6	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (( +s ‘𝑥) ∈ No ↔ (𝑦 +s 𝑧) ∈ No ))
8	7	ralxp 5844	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No ↔ ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No (𝑦 +s 𝑧) ∈ No )
9	3, 8	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No
10		ffnfv 7128	. 2 ⊢ ( +s :( No × No )⟶ No ↔ ( +s Fn ( No × No ) ∧ ∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No ))
11	1, 9, 10	mpbir2an 709	1 ⊢ +s :( No × No )⟶ No

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ⟨cop 4636   × cxp 5676   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   No csur 27618   +_s cadds 27922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8687  df-no 27621  df-slt 27622  df-bday 27623  df-sslt 27760  df-scut 27762  df-0s 27803  df-made 27820  df-old 27821  df-left 27823  df-right 27824  df-norec2 27912  df-adds 27923

This theorem is referenced by:  addsfo  27946