Theorem addsf 28137

Description: Function statement for surreal addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addsf	⊢ +s :( No × No )⟶ No

Proof of Theorem addsf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsfn 28116	. 2 ⊢ +s Fn ( No × No )
2		addscl 28136	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No ) → (𝑦 +s 𝑧) ∈ No )
3	2	rgen2 3211	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No (𝑦 +s 𝑧) ∈ No
4		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( +s ‘𝑥) = ( +s ‘⟨𝑦, 𝑧⟩))
5		df-ov 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 +s 𝑧) = ( +s ‘⟨𝑦, 𝑧⟩)
6	4, 5	eqtr4di 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → ( +s ‘𝑥) = (𝑦 +s 𝑧))
7	6	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (( +s ‘𝑥) ∈ No ↔ (𝑦 +s 𝑧) ∈ No ))
8	7	ralxp 5825	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No ↔ ∀𝑦 ∈ No ∀𝑧 ∈ No (𝑦 +s 𝑧) ∈ No )
9	3, 8	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No
10		ffnfv 7112	. 2 ⊢ ( +s :( No × No )⟶ No ↔ ( +s Fn ( No × No ) ∧ ∀𝑥 ∈ ( No × No )( +s ‘𝑥) ∈ No ))
11	1, 9, 10	mpbir2an 723	1 ⊢ +s :( No × No )⟶ No

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ⟨cop 4597   × cxp 5657   Fn wfn 6529  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   No csur 27766   +_s cadds 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27769  df-lts 27770  df-bday 27771  df-slts 27913  df-cuts 27915  df-0s 27962  df-made 27982  df-old 27983  df-left 27985  df-right 27986  df-norec2 28104  df-adds 28115

This theorem is referenced by:  addsfo  28138