Theorem addsid1d 34219

Description: Surreal addition to zero is identity. Part of Theorem 3 of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
addsid1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addsid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)

Proof of Theorem addsid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addsid1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addsid1 34218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 0s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7329   No csur 26886   0s c0s 34107   +s cadds 34207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-1o 8359  df-2o 8360  df-no 26889  df-slt 26890  df-bday 26891  df-sslt 34067  df-scut 34069  df-0s 34109  df-made 34122  df-old 34123  df-left 34125  df-right 34126  df-norec2 34197  df-adds 34210

This theorem is referenced by: (None)