Theorem addsubsub23 11729

Description: Swap the second and the third terms in a difference of a sum and a difference (or, vice versa, in a sum of a difference and a sum). (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addsub4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubsub23	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem addsubsub23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		subaddd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		addsub4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	subsubd 11704	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) + 𝐷))
7	1, 2, 4	addsubd 11697	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
8	7	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) + 𝐷) = (((𝐴 − 𝐶) + 𝐵) + 𝐷))
9	1, 4	subcld 11676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9, 2, 5	addassd 11338	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) + 𝐵) + 𝐷) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
11	6, 8, 10	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   + caddc 11210   − cmin 11548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550

This theorem is used by:  sin5tlem5  48031  goldpolyfactor  48035  modmkpkne  48545