sin5tlem5 - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin5tlem5 47341

Description: Lemma 5 for quintupled angle sine calculation: sine of triple-angle and double-angle sum, as a polynomial in sine straight. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin5tlem5	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

**Proof of Theorem sin5tlem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem1 47337	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
2	1	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
3		sin5tlem4 47340	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
4	2, 3	oveq12d 7378	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))))
5		8cn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
9		6cn 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
11	10, 7	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
12	8, 11	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) ∈ ℂ)
13		5nn0 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ₀)
15	7, 14	expcld 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
16	6, 15	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
17		1nn0 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
18		6nn0 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
19	17, 18	deccl 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
20	19	nn0cni 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
22		3nn0 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
24	7, 23	expcld 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
26	16, 25	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
27	10, 24	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
28	26, 27	addcld 11155	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
29	26, 8	addcomd 11339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) = ((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))))
30	29	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
31	8, 26, 11, 27	addsubsub23 11549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
32	30, 31	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
33	12, 28, 32	comraddd 11351	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
34	33	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
35		10nn 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ
36	35	nncni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
38	37, 24	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;10 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
39	16, 38	subcld 11496	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
40		3cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
42	41, 7	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 𝑀) ∈ ℂ)
43	39, 42, 28, 12	add4d 11366	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
44	16, 16, 38, 38	addsub4d 11543	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
45		8p8e16 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 8) = ;16
46	45	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 = (8 + 8)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (8 + 8))
48	47	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 + 8) · (𝑀↑5)))
49	6, 6, 15	adddird 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 + 8) · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
50	48, 49	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
51		10p10e20 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 + ;10) = ;20
52	51	eqcomi 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 = (;10 + ;10)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;20 = (;10 + ;10))
54	53	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)))
55	37, 37, 24	adddird 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
56	54, 55	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
57	50, 56	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))))
58	21, 10, 24	subdird 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))))
59	58	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))) = ((;16 − 6) · (𝑀↑3)))
60	59	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))))
61	16, 25, 27	subsubd 11524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))))
62		dec10p 12678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10 + 6) = ;16
63	62	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = (;10 + 6)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (;10 + 6))
65	37, 10, 64	mvrraddd 11553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 − 6) = ;10)
66	65	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = (;10 · (𝑀↑3)))
67	66	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
68	60, 61, 67	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
69	68	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
70	44, 57, 69	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))))
71	6, 10	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 − 6) ∈ ℂ)
72	41, 71, 7	adddird 11161	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)))
73		2cn 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
74		6p2e8 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
75	74	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (6 + 2)
76	9, 73, 75	mvrladdi 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 − 6) = 2
77	76	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + (8 − 6)) = (3 + 2)
78		3p2e5 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
79	77, 78	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + (8 − 6)) = 5
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 + (8 − 6)) = 5)
81	80	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = (5 · 𝑀))
82	6, 10, 7	subdird 11598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 − 6) · 𝑀) = ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))
83	82	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)) = ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
84	72, 81, 83	3eqtr3rd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))) = (5 · 𝑀))
85	70, 84	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
86	34, 43, 85	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
87	86	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
88	4, 87	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 2c2 12227 3c3 12228 4c4 12229 5c5 12230 6c6 12231 8c8 12233 ℕ₀cn0 12428 cdc 12635 ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-5 12238 df-6 12239 df-7 12240 df-8 12241 df-9 12242 df-n0 12429 df-z 12516 df-dec 12636 df-uz 12780 df-seq 13955 df-exp 14015

This theorem is referenced by: sin5t 47342

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