Theorem sin5tlem5 47591

Description: Lemma 5 for quintupled angle sine calculation: sine of triple-angle and double-angle sum, as a polynomial in sine straight. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem5	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Proof of Theorem sin5tlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem1 47587	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
2	1	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
3		sin5tlem4 47590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
4	2, 3	oveq12d 7430	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))))
5		8cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
9		6cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
11	10, 7	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
12	8, 11	subcld 11570	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) ∈ ℂ)
13		5nn0 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
15	7, 14	expcld 14184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
16	6, 15	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
17		16nn0 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
20		3nn0 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
22	7, 21	expcld 14184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
24	16, 23	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
25	10, 22	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
26	24, 25	addcld 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
27	24, 8	addcomd 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) = ((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))))
28	27	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
29	8, 24, 11, 25	addsubsub23 11623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
30	28, 29	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
31	12, 26, 30	comraddd 11425	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
32	31	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
33		10nn 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ
34	33	nncni 12244	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
36	35, 22	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;10 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	16, 36	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
38		3cn 12323	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
40	39, 7	mulcld 11230	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 𝑀) ∈ ℂ)
41	37, 40, 26, 12	add4d 11440	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
42	16, 16, 36, 36	addsub4d 11617	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
43		8p8e16 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 8) = ;16
44	43	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 = (8 + 8)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (8 + 8))
46	45	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 + 8) · (𝑀↑5)))
47	6, 6, 15	adddird 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 + 8) · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
48	46, 47	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
49		10p10e20 12812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 + ;10) = ;20
50	49	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 = (;10 + ;10)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;20 = (;10 + ;10))
52	51	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)))
53	35, 35, 22	adddird 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
54	52, 53	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
55	48, 54	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))))
56	19, 10, 22	subdird 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))))
57	56	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))) = ((;16 − 6) · (𝑀↑3)))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))))
59	16, 23, 25	subsubd 11598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))))
60		dec10p 12760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10 + 6) = ;16
61	60	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = (;10 + 6)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (;10 + 6))
63	35, 10, 62	mvrraddd 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 − 6) = ;10)
64	63	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = (;10 · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
66	58, 59, 65	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
67	66	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
68	42, 55, 67	3eqtr4rd 2809	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))))
69	6, 10	subcld 11570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 − 6) ∈ ℂ)
70	39, 69, 7	adddird 11235	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)))
71		2cn 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
72		6p2e8 12400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
73	72	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (6 + 2)
74	9, 71, 73	mvrladdi 11476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 − 6) = 2
75	74	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + (8 − 6)) = (3 + 2)
76		3p2e5 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
77	75, 76	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + (8 − 6)) = 5
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 + (8 − 6)) = 5)
79	78	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = (5 · 𝑀))
80	6, 10, 7	subdird 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 − 6) · 𝑀) = ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))
81	80	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)) = ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
82	70, 79, 81	3eqtr3rd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))) = (5 · 𝑀))
83	68, 82	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
84	32, 41, 83	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
85	84	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
86	4, 85	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  sin5t  47592