Theorem sin5tlem5 48016

Description: Lemma 5 for quintupled angle sine calculation: sine of triple-angle and double-angle sum, as a polynomial in sine straight. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem5	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Proof of Theorem sin5tlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem1 48012	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
2	1	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
3		sin5tlem4 48015	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
4	2, 3	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))))
5		8cn 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
9		6cn 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
11	10, 7	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
12	8, 11	subcld 11672	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) ∈ ℂ)
13		5nn0 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
15	7, 14	expcld 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
16	6, 15	mulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
17		16nn0 12835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
20		3nn0 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
22	7, 21	expcld 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
24	16, 23	subcld 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
25	10, 22	mulcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
26	24, 25	addcld 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
27	24, 8	addcomd 11515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) = ((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))))
28	27	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
29	8, 24, 11, 25	addsubsub23 11725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
30	28, 29	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
31	12, 26, 30	comraddd 11527	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
32	31	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
33		10nn 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ
34	33	nncni 12348	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
36	35, 22	mulcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;10 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	16, 36	subcld 11672	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
38		3cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
40	39, 7	mulcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 𝑀) ∈ ℂ)
41	37, 40, 26, 12	add4d 11542	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
42	16, 16, 36, 36	addsub4d 11719	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
43		8p8e16 12908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 8) = ;16
44	43	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 = (8 + 8)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (8 + 8))
46	45	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 + 8) · (𝑀↑5)))
47	6, 6, 15	adddird 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 + 8) · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
48	46, 47	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
49		10p10e20 12917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 + ;10) = ;20
50	49	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 = (;10 + ;10)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;20 = (;10 + ;10))
52	51	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)))
53	35, 35, 22	adddird 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
54	52, 53	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
55	48, 54	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))))
56	19, 10, 22	subdird 11776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))))
57	56	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))) = ((;16 − 6) · (𝑀↑3)))
58	57	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))))
59	16, 23, 25	subsubd 11700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))))
60		dec10p 12865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10 + 6) = ;16
61	60	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = (;10 + 6)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (;10 + 6))
63	35, 10, 62	mvrraddd 11730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 − 6) = ;10)
64	63	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = (;10 · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
66	58, 59, 65	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
67	66	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
68	42, 55, 67	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))))
69	6, 10	subcld 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 − 6) ∈ ℂ)
70	39, 69, 7	adddird 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)))
71		2cn 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
72		6p2e8 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
73	72	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (6 + 2)
74	9, 71, 73	mvrladdi 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 − 6) = 2
75	74	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + (8 − 6)) = (3 + 2)
76		3p2e5 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
77	75, 76	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + (8 − 6)) = 5
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 + (8 − 6)) = 5)
79	78	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = (5 · 𝑀))
80	6, 10, 7	subdird 11776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 − 6) · 𝑀) = ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))
81	80	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)) = ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
82	70, 79, 81	3eqtr3rd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))) = (5 · 𝑀))
83	68, 82	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
84	32, 41, 83	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
85	84	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
86	4, 85	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  6c6 12404  8c8 12406  ℕ₀cn0 12609  ;cdc 12817  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  sin5t  48017