sin5tlem5 - Mathbox for Ender Ting

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Theorem sin5tlem5 47325

Description: Lemma 5 for quintupled angle sine calculation: sine of triple-angle and double-angle sum, as a polynomial in sine straight. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
sin5tlem5	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

**Proof of Theorem sin5tlem5**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem1 47321	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
2	1	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
3		sin5tlem4 47324	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
4	2, 3	oveq12d 7385	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))))
5		8cn 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
9		6cn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
11	10, 7	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
12	8, 11	subcld 11505	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) ∈ ℂ)
13		5nn0 12457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ₀)
15	7, 14	expcld 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
16	6, 15	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
17		1nn0 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
18		6nn0 12458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
19	17, 18	deccl 12659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
20	19	nn0cni 12449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
22		3nn0 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
24	7, 23	expcld 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
26	16, 25	subcld 11505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
27	10, 24	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
28	26, 27	addcld 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
29	26, 8	addcomd 11348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) = ((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))))
30	29	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
31	8, 26, 11, 27	addsubsub23 11558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
32	30, 31	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
33	12, 28, 32	comraddd 11360	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
34	33	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
35		10nn 12660	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ
36	35	nncni 12184	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
38	37, 24	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;10 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
39	16, 38	subcld 11505	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
40		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
42	41, 7	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 𝑀) ∈ ℂ)
43	39, 42, 28, 12	add4d 11375	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
44	16, 16, 38, 38	addsub4d 11552	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
45		8p8e16 12730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 8) = ;16
46	45	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 = (8 + 8)
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (8 + 8))
48	47	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 + 8) · (𝑀↑5)))
49	6, 6, 15	adddird 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 + 8) · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
50	48, 49	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
51		10p10e20 12739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 + ;10) = ;20
52	51	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 = (;10 + ;10)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;20 = (;10 + ;10))
54	53	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)))
55	37, 37, 24	adddird 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
56	54, 55	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
57	50, 56	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))))
58	21, 10, 24	subdird 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))))
59	58	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))) = ((;16 − 6) · (𝑀↑3)))
60	59	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))))
61	16, 25, 27	subsubd 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))))
62		dec10p 12687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10 + 6) = ;16
63	62	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = (;10 + 6)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (;10 + 6))
65	37, 10, 64	mvrraddd 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 − 6) = ;10)
66	65	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = (;10 · (𝑀↑3)))
67	66	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
68	60, 61, 67	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
69	68	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
70	44, 57, 69	3eqtr4rd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))))
71	6, 10	subcld 11505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 − 6) ∈ ℂ)
72	41, 71, 7	adddird 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)))
73		2cn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
74		6p2e8 12335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
75	74	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (6 + 2)
76	9, 73, 75	mvrladdi 11411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 − 6) = 2
77	76	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + (8 − 6)) = (3 + 2)
78		3p2e5 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
79	77, 78	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + (8 − 6)) = 5
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 + (8 − 6)) = 5)
81	80	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = (5 · 𝑀))
82	6, 10, 7	subdird 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 − 6) · 𝑀) = ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))
83	82	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)) = ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
84	72, 81, 83	3eqtr3rd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))) = (5 · 𝑀))
85	70, 84	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
86	34, 43, 85	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
87	86	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
88	4, 87	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 − cmin 11377 2c2 12236 3c3 12237 4c4 12238 5c5 12239 6c6 12240 8c8 12242 ℕ₀cn0 12437 cdc 12644 ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-op 4574 df-uni 4851 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-5 12247 df-6 12248 df-7 12249 df-8 12250 df-9 12251 df-n0 12438 df-z 12525 df-dec 12645 df-uz 12789 df-seq 13964 df-exp 14024

This theorem is referenced by: sin5t 47326

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