Theorem sin5tlem5 47655

Description: Lemma 5 for quintupled angle sine calculation: sine of triple-angle and double-angle sum, as a polynomial in sine straight. (Contributed by Ender Ting, 17-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sin5tlem5	⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

Proof of Theorem sin5tlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin5tlem1 47651	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
2	1	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)))
3		sin5tlem4 47654	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
4	2, 3	oveq12d 7441	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))))
5		8cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 𝑀 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · 𝑀) ∈ ℂ)
9		6cn 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 6 ∈ ℂ)
11	10, 7	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · 𝑀) ∈ ℂ)
12	8, 11	subcld 11587	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) ∈ ℂ)
13		5nn0 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 5 ∈ ℕ0)
15	7, 14	expcld 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑5) ∈ ℂ)
16	6, 15	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 · (𝑀↑5)) ∈ ℂ)
17		16nn0 12747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℂ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 ∈ ℂ)
20		3nn0 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ0)
22	7, 21	expcld 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
23	19, 22	mulcld 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
24	16, 23	subcld 11587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
25	10, 22	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (6 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
26	24, 25	addcld 11246	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
27	24, 8	addcomd 11430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) = ((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))))
28	27	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))))
29	8, 24, 11, 25	addsubsub23 11640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · 𝑀) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3)))) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
30	28, 29	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))))
31	12, 26, 30	comraddd 11442	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
32	31	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
33		10nn 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ
34	33	nncni 12261	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
36	35, 22	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;10 · (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	16, 36	subcld 11587	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) ∈ ℂ)
38		3cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → 3 ∈ ℂ)
40	39, 7	mulcld 11247	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 · 𝑀) ∈ ℂ)
41	37, 40, 26, 12	add4d 11457	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))))
42	16, 16, 36, 36	addsub4d 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
43		8p8e16 12820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 8) = ;16
44	43	eqcomi 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 = (8 + 8)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (8 + 8))
46	45	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 + 8) · (𝑀↑5)))
47	6, 6, 15	adddird 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 + 8) · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
48	46, 47	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 · (𝑀↑5)) = ((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))))
49		10p10e20 12829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 + ;10) = ;20
50	49	eqcomi 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;20 = (;10 + ;10)
51	50	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;20 = (;10 + ;10))
52	51	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)))
53	35, 35, 22	adddird 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;10 + ;10) · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
54	52, 53	eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;20 · (𝑀↑3)) = ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3))))
55	48, 54	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) = (((8 · (𝑀↑5)) + (8 · (𝑀↑5))) − ((;10 · (𝑀↑3)) + (;10 · (𝑀↑3)))))
56	19, 10, 22	subdird 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))))
57	56	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3))) = ((;16 − 6) · (𝑀↑3)))
58	57	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))))
59	16, 23, 25	subsubd 11615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 · (𝑀↑3)) − (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))))
60		dec10p 12777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;10 + 6) = ;16
61	60	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;16 = (;10 + 6)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ;16 = (;10 + 6))
63	35, 10, 62	mvrraddd 11644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (;16 − 6) = ;10)
64	63	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((;16 − 6) · (𝑀↑3)) = (;10 · (𝑀↑3)))
65	64	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 · (𝑀↑5)) − ((;16 − 6) · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
66	58, 59, 65	3eqtr3d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3))) = ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))))
67	66	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + ((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3)))))
68	42, 55, 67	3eqtr4rd 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) = ((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))))
69	6, 10	subcld 11587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (8 − 6) ∈ ℂ)
70	39, 69, 7	adddird 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)))
71		2cn 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
72		6p2e8 12417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 2) = 8
73	72	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (6 + 2)
74	9, 71, 73	mvrladdi 11493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 − 6) = 2
75	74	oveq2i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + (8 − 6)) = (3 + 2)
76		3p2e5 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
77	75, 76	eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + (8 − 6)) = 5
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (3 + (8 − 6)) = 5)
79	78	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 + (8 − 6)) · 𝑀) = (5 · 𝑀))
80	6, 10, 7	subdird 11689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((8 − 6) · 𝑀) = ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))
81	80	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 − 6) · 𝑀)) = ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))))
82	70, 79, 81	3eqtr3rd 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀))) = (5 · 𝑀))
83	68, 82	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (6 · (𝑀↑3)))) + ((3 · 𝑀) + ((8 · 𝑀) − (6 · 𝑀)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
84	32, 41, 83	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
85	84	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((8 · (𝑀↑5)) − (;10 · (𝑀↑3))) + (3 · 𝑀)) + ((((8 · (𝑀↑5)) − (;16 · (𝑀↑3))) + (8 · 𝑀)) − ((6 · 𝑀) − (6 · (𝑀↑3))))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))
86	4, 85	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) = (1 − (𝑀↑2))) → ((((3 · 𝑀) − (4 · (𝑀↑3))) · (1 − (2 · (𝑀↑2)))) + (((4 · (𝑁↑3)) − (3 · 𝑁)) · (2 · (𝑀 · 𝑁)))) = (((;16 · (𝑀↑5)) − (;20 · (𝑀↑3))) + (5 · 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  6c6 12317  8c8 12319  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  sin5t  47656