Theorem subsubd 11669

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11170   + caddc 11175   − cmin 11513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-ltxr 11320  df-sub 11515

This theorem is used by:  addsubsub23  11694  subaddmulsub  11749  uzsubsubfz  13649  bcm1k  14427  swrds2m  15060  crre  15249  imval2  15286  cvgcmp  15951  arisum2  15998  mertenslem1  16021  binomfallfaclem2  16174  fallfacval4  16177  bpolydiflem  16188  bpoly3  16192  bpoly4  16193  cos01bnd  16322  prmdiv  16924  vfermltlALT  16942  dvle  26289  dvfsumlem2  26309  efif1olem2  26835  affineequiv  27115  heron  27130  dquart  27145  quartlem1  27149  acosneg  27179  efiatan2  27209  atans2  27223  birthdaylem2  27244  lgamcvg2  27346  wilthlem2  27360  basellem5  27376  gausslemma2dlem1a  27656  pntrlog2bndlem4  27871  pntrlog2bndlem5  27872  pntrlog2bndlem6  27874  colinearalglem2  29419  axsegconlem9  29437  clwlkclwwlklem2a1  30517  clwlkclwwlklem2a4  30522  clwwlkext2edg  30581  numclwwlk1lem2foalem  30886  numclwwlk1lem2fo  30893  wrdt2ind  33450  constrrtcc  34301  subfacp1lem5  35870  poimirlem29  38487  itg2addnclem  38509  itg2addnclem3  38511  bcle2d  43149  rmspecsqrtnq  43851  sub31  46227  infleinflem2  46304  stoweidlem26  46958  fourierdlem19  47058  fourierdlem63  47101  fourierdlem107  47145  ovolval5lem1  47584  sin5tlem5  47845  fmtnorec4  48556  itcovalt2lem2lem2  49708