Theorem subsubd 11600

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11491	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11678  uzsubsubfz  13526  bcm1k  14277  swrds2m  14895  crre  15064  imval2  15101  cvgcmp  15765  arisum2  15810  mertenslem1  15833  binomfallfaclem2  15987  fallfacval4  15990  bpolydiflem  16001  bpoly3  16005  bpoly4  16006  cos01bnd  16133  prmdiv  16724  vfermltlALT  16741  dvle  25890  dvfsumlem2  25911  dvfsumlem2OLD  25912  efif1olem2  26427  affineequiv  26705  heron  26720  dquart  26735  quartlem1  26739  acosneg  26769  efiatan2  26799  atans2  26813  birthdaylem2  26834  lgamcvg2  26937  wilthlem2  26951  basellem5  26967  gausslemma2dlem1a  27248  pntrlog2bndlem4  27463  pntrlog2bndlem5  27464  pntrlog2bndlem6  27466  colinearalglem2  28668  axsegconlem9  28686  clwlkclwwlklem2a1  29749  clwlkclwwlklem2a4  29754  clwwlkext2edg  29813  numclwwlk1lem2foalem  30108  numclwwlk1lem2fo  30115  wrdt2ind  32619  subfacp1lem5  34702  poimirlem29  37029  itg2addnclem  37051  itg2addnclem3  37053  rmspecsqrtnq  42204  sub31  44554  infleinflem2  44635  stoweidlem26  45296  fourierdlem19  45396  fourierdlem63  45439  fourierdlem107  45483  ovolval5lem1  45922  fmtnorec4  46771  itcovalt2lem2lem2  47617