MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubd 10626
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsubd (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub 10517 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  cc 10140   + caddc 10145  cmin 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  12570  bcm1k  13306  swrds2m  13895  crre  14062  imval2  14099  cvgcmp  14755  arisum2  14800  mertenslem1  14823  binomfallfaclem2  14977  fallfacval4  14980  bpolydiflem  14991  bpoly3  14995  bpoly4  14996  cos01bnd  15122  prmdiv  15697  vfermltlALT  15714  dvle  23990  dvfsumlem2  24010  efif1olem2  24510  affineequiv  24774  heron  24786  dquart  24801  quartlem1  24805  acosneg  24835  efiatan2  24865  atans2  24879  birthdaylem2  24900  lgamcvg2  25002  wilthlem2  25016  basellem5  25032  gausslemma2dlem1a  25311  pntrlog2bndlem4  25490  pntrlog2bndlem5  25491  pntrlog2bndlem6  25493  colinearalglem2  26008  axsegconlem9  26026  clwlkclwwlklem2a1  27142  clwlkclwwlklem2a4  27147  clwwlkext2edg  27213  extwwlkfablem1OLD  27524  numclwwlk1lem2foalem  27537  numclwwlk1lem2fo  27544  subfacp1lem5  31504  poimirlem29  33770  itg2addnclem  33792  itg2addnclem3  33794  rmspecsqrtnq  37994  rmspecsqrtnqOLD  37995  sub31  40016  infleinflem2  40098  stoweidlem26  40755  fourierdlem19  40855  fourierdlem63  40898  fourierdlem107  40942  ovolval5lem1  41381  fmtnorec4  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator