Theorem subsubd 11596

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℂcc 11097   + caddc 11102   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11621  subaddmulsub  11676  uzsubsubfz  13574  bcm1k  14351  swrds2m  14978  crre  15165  imval2  15202  cvgcmp  15868  arisum2  15915  mertenslem1  15938  binomfallfaclem2  16093  fallfacval4  16096  bpolydiflem  16107  bpoly3  16111  bpoly4  16112  cos01bnd  16241  prmdiv  16843  vfermltlALT  16861  dvle  26145  dvfsumlem2  26165  efif1olem2  26684  affineequiv  26964  heron  26979  dquart  26994  quartlem1  26998  acosneg  27028  efiatan2  27058  atans2  27072  birthdaylem2  27093  lgamcvg2  27195  wilthlem2  27209  basellem5  27225  gausslemma2dlem1a  27505  pntrlog2bndlem4  27720  pntrlog2bndlem5  27721  pntrlog2bndlem6  27723  colinearalglem2  29223  axsegconlem9  29241  clwlkclwwlklem2a1  30309  clwlkclwwlklem2a4  30314  clwwlkext2edg  30373  numclwwlk1lem2foalem  30668  numclwwlk1lem2fo  30675  wrdt2ind  33239  constrrtcc  34091  subfacp1lem5  35642  poimirlem29  38266  itg2addnclem  38288  itg2addnclem3  38290  bcle2d  42914  rmspecsqrtnq  43603  sub31  45979  infleinflem2  46056  stoweidlem26  46710  fourierdlem19  46810  fourierdlem63  46853  fourierdlem107  46897  ovolval5lem1  47336  sin5tlem5  47581  fmtnorec4  48268  itcovalt2lem2lem2  49421