Theorem subsubd 11594

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7403  ℂcc 11103   + caddc 11108   − cmin 11439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11441

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11672  uzsubsubfz  13518  bcm1k  14270  swrds2m  14887  crre  15056  imval2  15093  cvgcmp  15757  arisum2  15802  mertenslem1  15825  binomfallfaclem2  15979  fallfacval4  15982  bpolydiflem  15993  bpoly3  15997  bpoly4  15998  cos01bnd  16124  prmdiv  16713  vfermltlALT  16730  dvle  25505  dvfsumlem2  25525  efif1olem2  26033  affineequiv  26307  heron  26322  dquart  26337  quartlem1  26341  acosneg  26371  efiatan2  26401  atans2  26415  birthdaylem2  26436  lgamcvg2  26538  wilthlem2  26552  basellem5  26568  gausslemma2dlem1a  26847  pntrlog2bndlem4  27062  pntrlog2bndlem5  27063  pntrlog2bndlem6  27065  colinearalglem2  28144  axsegconlem9  28162  clwlkclwwlklem2a1  29224  clwlkclwwlklem2a4  29229  clwwlkext2edg  29288  numclwwlk1lem2foalem  29583  numclwwlk1lem2fo  29590  wrdt2ind  32094  subfacp1lem5  34112  gg-dvfsumlem2  35120  poimirlem29  36454  itg2addnclem  36476  itg2addnclem3  36478  rmspecsqrtnq  41576  sub31  43934  infleinflem2  44015  stoweidlem26  44676  fourierdlem19  44776  fourierdlem63  44819  fourierdlem107  44863  ovolval5lem1  45302  fmtnorec4  46151  itcovalt2lem2lem2  47261