Theorem subsubd 11624

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11468

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470

This theorem is used by:  addsubsub23  11649  subaddmulsub  11704  uzsubsubfz  13603  bcm1k  14381  swrds2m  15014  crre  15203  imval2  15240  cvgcmp  15905  arisum2  15952  mertenslem1  15975  binomfallfaclem2  16130  fallfacval4  16133  bpolydiflem  16144  bpoly3  16148  bpoly4  16149  cos01bnd  16278  prmdiv  16880  vfermltlALT  16898  dvle  26239  dvfsumlem2  26259  efif1olem2  26781  affineequiv  27061  heron  27076  dquart  27091  quartlem1  27095  acosneg  27125  efiatan2  27155  atans2  27169  birthdaylem2  27190  lgamcvg2  27292  wilthlem2  27306  basellem5  27322  gausslemma2dlem1a  27602  pntrlog2bndlem4  27817  pntrlog2bndlem5  27818  pntrlog2bndlem6  27820  colinearalglem2  29365  axsegconlem9  29383  clwlkclwwlklem2a1  30463  clwlkclwwlklem2a4  30468  clwwlkext2edg  30527  numclwwlk1lem2foalem  30832  numclwwlk1lem2fo  30839  wrdt2ind  33397  constrrtcc  34247  subfacp1lem5  35765  poimirlem29  38400  itg2addnclem  38422  itg2addnclem3  38424  bcle2d  43047  rmspecsqrtnq  43749  sub31  46125  infleinflem2  46202  stoweidlem26  46856  fourierdlem19  46956  fourierdlem63  46999  fourierdlem107  47043  ovolval5lem1  47482  sin5tlem5  47743  fmtnorec4  48454  itcovalt2lem2lem2  49606