MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubd 11019
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsubd (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub 10910 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐵) + 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7146  cc 10529   + caddc 10534  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866
This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11097  uzsubsubfz  12931  bcm1k  13678  swrds2m  14301  crre  14471  imval2  14508  cvgcmp  15169  arisum2  15214  mertenslem1  15238  binomfallfaclem2  15392  fallfacval4  15395  bpolydiflem  15406  bpoly3  15410  bpoly4  15411  cos01bnd  15537  prmdiv  16118  vfermltlALT  16135  dvle  24608  dvfsumlem2  24628  efif1olem2  25133  affineequiv  25407  heron  25422  dquart  25437  quartlem1  25441  acosneg  25471  efiatan2  25501  atans2  25515  birthdaylem2  25536  lgamcvg2  25638  wilthlem2  25652  basellem5  25668  gausslemma2dlem1a  25947  pntrlog2bndlem4  26162  pntrlog2bndlem5  26163  pntrlog2bndlem6  26165  colinearalglem2  26699  axsegconlem9  26717  clwlkclwwlklem2a1  27775  clwlkclwwlklem2a4  27780  clwwlkext2edg  27839  numclwwlk1lem2foalem  28134  numclwwlk1lem2fo  28141  wrdt2ind  30633  subfacp1lem5  32458  poimirlem29  34998  itg2addnclem  35020  itg2addnclem3  35022  rmspecsqrtnq  39703  sub31  41788  infleinflem2  41869  stoweidlem26  42534  fourierdlem19  42634  fourierdlem63  42677  fourierdlem107  42721  ovolval5lem1  43157  fmtnorec4  43932  itcovalt2lem2lem2  44942
  Copyright terms: Public domain W3C validator