Theorem subsubd 11522

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025   + caddc 11030   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11547  subaddmulsub  11602  uzsubsubfz  13489  bcm1k  14266  swrds2m  14892  crre  15065  imval2  15102  cvgcmp  15768  arisum2  15815  mertenslem1  15838  binomfallfaclem2  15994  fallfacval4  15997  bpolydiflem  16008  bpoly3  16012  bpoly4  16013  cos01bnd  16142  prmdiv  16744  vfermltlALT  16762  dvle  25984  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  efif1olem2  26523  affineequiv  26804  heron  26819  dquart  26834  quartlem1  26838  acosneg  26868  efiatan2  26898  atans2  26912  birthdaylem2  26933  lgamcvg2  27036  wilthlem2  27050  basellem5  27066  gausslemma2dlem1a  27347  pntrlog2bndlem4  27562  pntrlog2bndlem5  27563  pntrlog2bndlem6  27565  colinearalglem2  28995  axsegconlem9  29013  clwlkclwwlklem2a1  30082  clwlkclwwlklem2a4  30087  clwwlkext2edg  30146  numclwwlk1lem2foalem  30441  numclwwlk1lem2fo  30448  wrdt2ind  33033  constrrtcc  33900  subfacp1lem5  35387  poimirlem29  37981  itg2addnclem  38003  itg2addnclem3  38005  bcle2d  42629  rmspecsqrtnq  43349  sub31  45738  infleinflem2  45815  stoweidlem26  46469  fourierdlem19  46569  fourierdlem63  46612  fourierdlem107  46656  ovolval5lem1  47095  fmtnorec4  48009  itcovalt2lem2lem2  49147