Theorem subsubd 11637

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11528	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   + caddc 11149   − cmin 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484

This theorem is referenced by:  subaddmulsub  11715  uzsubsubfz  13563  bcm1k  14314  swrds2m  14932  crre  15101  imval2  15138  cvgcmp  15802  arisum2  15847  mertenslem1  15870  binomfallfaclem2  16024  fallfacval4  16027  bpolydiflem  16038  bpoly3  16042  bpoly4  16043  cos01bnd  16170  prmdiv  16761  vfermltlALT  16778  dvle  25960  dvfsumlem2  25981  dvfsumlem2OLD  25982  efif1olem2  26497  affineequiv  26775  heron  26790  dquart  26805  quartlem1  26809  acosneg  26839  efiatan2  26869  atans2  26883  birthdaylem2  26904  lgamcvg2  27007  wilthlem2  27021  basellem5  27037  gausslemma2dlem1a  27318  pntrlog2bndlem4  27533  pntrlog2bndlem5  27534  pntrlog2bndlem6  27536  colinearalglem2  28738  axsegconlem9  28756  clwlkclwwlklem2a1  29822  clwlkclwwlklem2a4  29827  clwwlkext2edg  29886  numclwwlk1lem2foalem  30181  numclwwlk1lem2fo  30188  wrdt2ind  32695  subfacp1lem5  34827  poimirlem29  37155  itg2addnclem  37177  itg2addnclem3  37179  bcle2d  41683  rmspecsqrtnq  42357  sub31  44701  infleinflem2  44782  stoweidlem26  45443  fourierdlem19  45543  fourierdlem63  45586  fourierdlem107  45630  ovolval5lem1  46069  fmtnorec4  46918  itcovalt2lem2lem2  47825