Theorem subsubd 11510

Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subsub 11401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014   + caddc 11019   − cmin 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11535  subaddmulsub  11590  uzsubsubfz  13456  bcm1k  14232  swrds2m  14858  crre  15031  imval2  15068  cvgcmp  15733  arisum2  15778  mertenslem1  15801  binomfallfaclem2  15957  fallfacval4  15960  bpolydiflem  15971  bpoly3  15975  bpoly4  15976  cos01bnd  16105  prmdiv  16706  vfermltlALT  16724  dvle  25949  dvfsumlem2  25970  dvfsumlem2OLD  25971  efif1olem2  26489  affineequiv  26770  heron  26785  dquart  26800  quartlem1  26804  acosneg  26834  efiatan2  26864  atans2  26878  birthdaylem2  26899  lgamcvg2  27002  wilthlem2  27016  basellem5  27032  gausslemma2dlem1a  27313  pntrlog2bndlem4  27528  pntrlog2bndlem5  27529  pntrlog2bndlem6  27531  colinearalglem2  28896  axsegconlem9  28914  clwlkclwwlklem2a1  29983  clwlkclwwlklem2a4  29988  clwwlkext2edg  30047  numclwwlk1lem2foalem  30342  numclwwlk1lem2fo  30349  wrdt2ind  32945  constrrtcc  33759  subfacp1lem5  35239  poimirlem29  37699  itg2addnclem  37721  itg2addnclem3  37723  bcle2d  42282  rmspecsqrtnq  43013  sub31  45405  infleinflem2  45483  stoweidlem26  46138  fourierdlem19  46238  fourierdlem63  46281  fourierdlem107  46325  ovolval5lem1  46764  fmtnorec4  47663  itcovalt2lem2lem2  48789