Theorem addsubd 11353

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207

This theorem is referenced by:  lesub2  11470  fzoshftral  13504  modadd1  13628  discr  13955  bcp1n  14030  bcpasc  14035  revccat  14479  crre  14825  isercoll2  15380  binomlem  15541  climcndslem1  15561  binomfallfaclem2  15750  pythagtriplem14  16529  vdwlem6  16687  gsumsgrpccat  18478  gsumccatOLD  18479  srgbinomlem3  19778  itgcnlem  24954  dvcvx  25184  dvfsumlem1  25190  dvfsumlem2  25191  plymullem1  25375  aaliou3lem2  25503  abelthlem2  25591  tangtx  25662  loglesqrt  25911  dcubic1  25995  quart1lem  26005  quartlem1  26007  basellem3  26232  basellem5  26234  chtub  26360  logfaclbnd  26370  bcp1ctr  26427  lgsquad2lem1  26532  2lgslem3b  26545  selberglem1  26693  selberg3  26707  selbergr  26716  selberg3r  26717  pntlemf  26753  pntlemo  26755  brbtwn2  27273  colinearalglem1  27274  colinearalglem2  27275  crctcsh  28189  clwwlkccatlem  28353  clwwlkel  28410  clwwlkwwlksb  28418  clwwlknonex2lem1  28471  ltesubnnd  31136  ballotlemfp1  32458  swrdwlk  33088  subfacp1lem6  33147  fwddifnp1  34467  poimirlem25  35802  poimirlem26  35803  2np3bcnp1  40100  sticksstones12a  40113  jm2.24nn  40781  jm2.18  40810  jm2.25  40821  dvnmul  43484  fourierdlem4  43652  fourierdlem26  43674  fourierdlem42  43690  vonicclem1  44221  cnambpcma  44786  cnapbmcpd  44787  fmtnorec4  45001  ltsubaddb  45855  ltsubadd2b  45857  2itscplem3  46126