Theorem addsubd 11553

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1386	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061   + caddc 11066   − cmin 11404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11585  lesub2  11672  fzoshftral  13783  modadd1  13908  discr  14243  bcp1n  14319  bcpasc  14324  revccat  14769  crre  15117  isercoll2  15672  binomlem  15835  climcndslem1  15855  binomfallfaclem2  16046  pythagtriplem14  16840  vdwlem6  16998  gsumsgrpccat  18850  srgbinomlem3  20250  itgcnlem  25825  dvcvx  26055  dvfsumlem1  26061  dvfsumlem2  26062  plymullem1  26247  aaliou3lem2  26377  abelthlem2  26465  tangtx  26540  loglesqrt  26796  dcubic1  26880  quart1lem  26890  quartlem1  26892  basellem3  27117  basellem5  27119  chtub  27246  logfaclbnd  27256  bcp1ctr  27313  lgsquad2lem1  27418  2lgslem3b  27431  selberglem1  27579  selberg3  27593  selbergr  27602  selberg3r  27603  pntlemf  27639  pntlemo  27641  brbtwn2  29045  colinearalglem1  29046  colinearalglem2  29047  crctcsh  29963  clwwlkccatlem  30130  clwwlkel  30187  clwwlkwwlksb  30195  clwwlknonex2lem1  30248  ltesubnnd  32968  vietalem  33830  constrrtlc1  33983  constrrtcclem  33985  ballotlemfp1  34743  swrdwlk  35425  subfacp1lem6  35483  fwddifnp1  36463  poimirlem25  38092  poimirlem26  38093  2np3bcnp1  42709  sticksstones12a  42722  jm2.24nn  43484  jm2.18  43513  jm2.25  43524  dvnmul  46465  fourierdlem4  46633  fourierdlem26  46655  fourierdlem42  46671  vonicclem1  47205  sin5tlem1  47415  sin5tlem4  47418  cos5t  47421  cnambpcma  47836  cnapbmcpd  47837  fmtnorec4  48106  ltsubaddb  49084  ltsubadd2b  49086  2itscplem3  49350