Theorem addsubd 11639

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   − cmin 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  lesub2  11756  fzoshftral  13820  modadd1  13945  discr  14276  bcp1n  14352  bcpasc  14357  revccat  14801  crre  15150  isercoll2  15702  binomlem  15862  climcndslem1  15882  binomfallfaclem2  16073  pythagtriplem14  16862  vdwlem6  17020  gsumsgrpccat  18866  srgbinomlem3  20246  itgcnlem  25840  dvcvx  26074  dvfsumlem1  26081  dvfsumlem2  26082  dvfsumlem2OLD  26083  plymullem1  26268  aaliou3lem2  26400  abelthlem2  26491  tangtx  26562  loglesqrt  26819  dcubic1  26903  quart1lem  26913  quartlem1  26915  basellem3  27141  basellem5  27143  chtub  27271  logfaclbnd  27281  bcp1ctr  27338  lgsquad2lem1  27443  2lgslem3b  27456  selberglem1  27604  selberg3  27618  selbergr  27627  selberg3r  27628  pntlemf  27664  pntlemo  27666  brbtwn2  28935  colinearalglem1  28936  colinearalglem2  28937  crctcsh  29854  clwwlkccatlem  30018  clwwlkel  30075  clwwlkwwlksb  30083  clwwlknonex2lem1  30136  ltesubnnd  32829  constrrtlc1  33738  constrrtcclem  33740  ballotlemfp1  34473  swrdwlk  35111  subfacp1lem6  35170  fwddifnp1  36147  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  2np3bcnp1  42126  sticksstones12a  42139  jm2.24nn  42948  jm2.18  42977  jm2.25  42988  dvnmul  45899  fourierdlem4  46067  fourierdlem26  46089  fourierdlem42  46105  vonicclem1  46639  cnambpcma  47244  cnapbmcpd  47245  fmtnorec4  47474  ltsubaddb  48360  ltsubadd2b  48362  2itscplem3  48630