Theorem addsubd 11620

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11498	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  lesub2  11737  fzoshftral  13805  modadd1  13930  discr  14263  bcp1n  14339  bcpasc  14344  revccat  14789  crre  15138  isercoll2  15690  binomlem  15850  climcndslem1  15870  binomfallfaclem2  16061  pythagtriplem14  16853  vdwlem6  17011  gsumsgrpccat  18823  srgbinomlem3  20193  itgcnlem  25748  dvcvx  25982  dvfsumlem1  25989  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  plymullem1  26176  aaliou3lem2  26308  abelthlem2  26399  tangtx  26471  loglesqrt  26728  dcubic1  26812  quart1lem  26822  quartlem1  26824  basellem3  27050  basellem5  27052  chtub  27180  logfaclbnd  27190  bcp1ctr  27247  lgsquad2lem1  27352  2lgslem3b  27365  selberglem1  27513  selberg3  27527  selbergr  27536  selberg3r  27537  pntlemf  27573  pntlemo  27575  brbtwn2  28889  colinearalglem1  28890  colinearalglem2  28891  crctcsh  29811  clwwlkccatlem  29975  clwwlkel  30032  clwwlkwwlksb  30040  clwwlknonex2lem1  30093  ltesubnnd  32806  constrrtlc1  33771  constrrtcclem  33773  ballotlemfp1  34529  swrdwlk  35154  subfacp1lem6  35212  fwddifnp1  36188  poimirlem25  37674  poimirlem26  37675  2np3bcnp1  42162  sticksstones12a  42175  jm2.24nn  42958  jm2.18  42987  jm2.25  42998  dvnmul  45952  fourierdlem4  46120  fourierdlem26  46142  fourierdlem42  46158  vonicclem1  46692  cnambpcma  47303  cnapbmcpd  47304  fmtnorec4  47543  ltsubaddb  48470  ltsubadd2b  48472  2itscplem3  48740