Theorem addsubd 11007

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10886	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  lesub2  11124  fzoshftral  13149  modadd1  13271  discr  13597  bcp1n  13672  bcpasc  13677  revccat  14119  crre  14465  isercoll2  15017  binomlem  15176  climcndslem1  15196  binomfallfaclem2  15386  pythagtriplem14  16155  vdwlem6  16312  gsumsgrpccat  17996  gsumccatOLD  17997  srgbinomlem3  19285  itgcnlem  24393  dvcvx  24623  dvfsumlem1  24629  dvfsumlem2  24630  plymullem1  24811  aaliou3lem2  24939  abelthlem2  25027  tangtx  25098  loglesqrt  25347  dcubic1  25431  quart1lem  25441  quartlem1  25443  basellem3  25668  basellem5  25670  chtub  25796  logfaclbnd  25806  bcp1ctr  25863  lgsquad2lem1  25968  2lgslem3b  25981  selberglem1  26129  selberg3  26143  selbergr  26152  selberg3r  26153  pntlemf  26189  pntlemo  26191  brbtwn2  26699  colinearalglem1  26700  colinearalglem2  26701  crctcsh  27610  clwwlkccatlem  27774  clwwlkel  27831  clwwlkwwlksb  27839  clwwlknonex2lem1  27892  ltesubnnd  30564  ballotlemfp1  31859  swrdwlk  32486  subfacp1lem6  32545  fwddifnp1  33739  poimirlem25  35082  poimirlem26  35083  2np3bcnp1  39348  jm2.24nn  39900  jm2.18  39929  jm2.25  39940  dvnmul  42585  fourierdlem4  42753  fourierdlem26  42775  fourierdlem42  42791  vonicclem1  43322  cnambpcma  43851  cnapbmcpd  43852  fmtnorec4  44066  ltsubaddb  44923  ltsubadd2b  44925  2itscplem3  45194