Theorem addsubd 11618

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  addsubsub23  11650  lesub2  11737  fzoshftral  13847  modadd1  13973  discr  14308  bcp1n  14384  bcpasc  14389  revccat  14839  crre  15205  isercoll2  15760  binomlem  15922  climcndslem1  15942  binomfallfaclem2  16132  pythagtriplem14  16926  vdwlem6  17084  gsumsgrpccat  18955  srgbinomlem3  20373  itgcnlem  26024  dvcvx  26254  dvfsumlem1  26260  dvfsumlem2  26261  plymullem1  26447  aaliou3lem2  26586  abelthlem2  26675  tangtx  26750  loglesqrt  27006  dcubic1  27090  quart1lem  27100  quartlem1  27102  basellem3  27327  basellem5  27329  chtub  27456  logfaclbnd  27466  bcp1ctr  27523  lgsquad2lem1  27628  2lgslem3b  27641  selberglem1  27789  selberg3  27803  selbergr  27812  selberg3r  27813  pntlemf  27849  pntlemo  27851  brbtwn2  29370  colinearalglem1  29371  colinearalglem2  29372  swrdwlk  30155  crctcsh  30300  clwwlkccatlem  30467  clwwlkel  30524  clwwlkwwlksb  30532  clwwlknonex2lem1  30585  ltesubnnd  33301  vietalem  34097  constrrtlc1  34250  constrrtcclem  34252  ballotlemfp1  35011  subfacp1lem6  35772  fwddifnp1  36753  poimirlem25  38402  poimirlem26  38403  2np3bcnp1  43018  sticksstones12a  43031  jm2.24nn  43808  jm2.18  43837  jm2.25  43848  dvnmul  46779  fourierdlem4  46947  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  vonicclem1  47519  sin5tlem1  47745  sin5tlem4  47748  cos5t  47751  cnambpcma  48190  cnapbmcpd  48191  fmtnorec4  48460  ltsubaddb  49452  ltsubadd2b  49454  2itscplem3  49718