Theorem addsubd 11517

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11395	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11028   + caddc 11033   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11549  lesub2  11636  fzoshftral  13707  modadd1  13832  discr  14167  bcp1n  14243  bcpasc  14248  revccat  14693  crre  15041  isercoll2  15596  binomlem  15756  climcndslem1  15776  binomfallfaclem2  15967  pythagtriplem14  16760  vdwlem6  16918  gsumsgrpccat  18769  srgbinomlem3  20167  itgcnlem  25751  dvcvx  25985  dvfsumlem1  25992  dvfsumlem2  25993  dvfsumlem2OLD  25994  plymullem1  26179  aaliou3lem2  26311  abelthlem2  26402  tangtx  26474  loglesqrt  26731  dcubic1  26815  quart1lem  26825  quartlem1  26827  basellem3  27053  basellem5  27055  chtub  27183  logfaclbnd  27193  bcp1ctr  27250  lgsquad2lem1  27355  2lgslem3b  27368  selberglem1  27516  selberg3  27530  selbergr  27539  selberg3r  27540  pntlemf  27576  pntlemo  27578  brbtwn2  28961  colinearalglem1  28962  colinearalglem2  28963  crctcsh  29880  clwwlkccatlem  30047  clwwlkel  30104  clwwlkwwlksb  30112  clwwlknonex2lem1  30165  ltesubnnd  32884  vietalem  33716  constrrtlc1  33870  constrrtcclem  33872  ballotlemfp1  34630  swrdwlk  35302  subfacp1lem6  35360  fwddifnp1  36340  poimirlem25  37817  poimirlem26  37818  2np3bcnp1  42435  sticksstones12a  42448  jm2.24nn  43237  jm2.18  43266  jm2.25  43277  dvnmul  46223  fourierdlem4  46391  fourierdlem26  46413  fourierdlem42  46429  vonicclem1  46963  cnambpcma  47576  cnapbmcpd  47577  fmtnorec4  47831  ltsubaddb  48796  ltsubadd2b  48798  2itscplem3  49062