Theorem addsubd 11596

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110   + caddc 11115   − cmin 11448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450

This theorem is referenced by:  lesub2  11713  fzoshftral  13753  modadd1  13877  discr  14207  bcp1n  14280  bcpasc  14285  revccat  14720  crre  15065  isercoll2  15619  binomlem  15779  climcndslem1  15799  binomfallfaclem2  15988  pythagtriplem14  16765  vdwlem6  16923  gsumsgrpccat  18757  srgbinomlem3  20122  itgcnlem  25539  dvcvx  25772  dvfsumlem1  25778  dvfsumlem2  25779  plymullem1  25963  aaliou3lem2  26092  abelthlem2  26180  tangtx  26251  loglesqrt  26502  dcubic1  26586  quart1lem  26596  quartlem1  26598  basellem3  26823  basellem5  26825  chtub  26951  logfaclbnd  26961  bcp1ctr  27018  lgsquad2lem1  27123  2lgslem3b  27136  selberglem1  27284  selberg3  27298  selbergr  27307  selberg3r  27308  pntlemf  27344  pntlemo  27346  brbtwn2  28430  colinearalglem1  28431  colinearalglem2  28432  crctcsh  29345  clwwlkccatlem  29509  clwwlkel  29566  clwwlkwwlksb  29574  clwwlknonex2lem1  29627  ltesubnnd  32295  ballotlemfp1  33788  swrdwlk  34415  subfacp1lem6  34474  fwddifnp1  35441  gg-dvfsumlem2  35469  poimirlem25  36816  poimirlem26  36817  2np3bcnp1  41266  sticksstones12a  41279  jm2.24nn  42000  jm2.18  42029  jm2.25  42040  dvnmul  44957  fourierdlem4  45125  fourierdlem26  45147  fourierdlem42  45163  vonicclem1  45697  cnambpcma  46300  cnapbmcpd  46301  fmtnorec4  46515  ltsubaddb  47282  ltsubadd2b  47284  2itscplem3  47553