Theorem addsubd 11589

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℂcc 11097   + caddc 11102   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11621  lesub2  11708  fzoshftral  13816  modadd1  13941  discr  14276  bcp1n  14352  bcpasc  14357  revccat  14803  crre  15165  isercoll2  15720  binomlem  15883  climcndslem1  15903  binomfallfaclem2  16093  pythagtriplem14  16887  vdwlem6  17045  gsumsgrpccat  18898  srgbinomlem3  20309  itgcnlem  25928  dvcvx  26158  dvfsumlem1  26164  dvfsumlem2  26165  plymullem1  26350  aaliou3lem2  26483  abelthlem2  26571  tangtx  26646  loglesqrt  26902  dcubic1  26986  quart1lem  26996  quartlem1  26998  basellem3  27223  basellem5  27225  chtub  27352  logfaclbnd  27362  bcp1ctr  27419  lgsquad2lem1  27524  2lgslem3b  27537  selberglem1  27685  selberg3  27699  selbergr  27708  selberg3r  27709  pntlemf  27745  pntlemo  27747  brbtwn2  29221  colinearalglem1  29222  colinearalglem2  29223  crctcsh  30139  clwwlkccatlem  30306  clwwlkel  30363  clwwlkwwlksb  30371  clwwlknonex2lem1  30424  ltesubnnd  33133  vietalem  33935  constrrtlc1  34088  constrrtcclem  34090  ballotlemfp1  34848  swrdwlk  35585  subfacp1lem6  35643  fwddifnp1  36623  poimirlem25  38262  poimirlem26  38263  2np3bcnp1  42879  sticksstones12a  42892  jm2.24nn  43656  jm2.18  43685  jm2.25  43696  dvnmul  46627  fourierdlem4  46795  fourierdlem26  46817  fourierdlem42  46833  vonicclem1  47367  sin5tlem1  47577  sin5tlem4  47580  cos5t  47583  cnambpcma  47998  cnapbmcpd  47999  fmtnorec4  48268  ltsubaddb  49261  ltsubadd2b  49263  2itscplem3  49527