Theorem addsubd 11717

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   + caddc 11230   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570

This theorem is used by:  addsubsub23  11749  lesub2  11838  fzoshftral  13949  modadd1  14075  discr  14411  bcp1n  14487  bcpasc  14492  revccat  14943  crre  15310  isercoll2  15865  binomlem  16027  climcndslem1  16047  binomfallfaclem2  16235  pythagtriplem14  17035  vdwlem6  17193  gsumsgrpccat  19065  srgbinomlem3  20484  itgcnlem  26140  dvcvx  26370  dvfsumlem1  26376  dvfsumlem2  26377  plymullem1  26563  aaliou3lem2  26700  abelthlem2  26789  tangtx  26864  loglesqrt  27119  dcubic1  27203  quart1lem  27213  quartlem1  27215  basellem3  27440  basellem5  27442  chtub  27569  logfaclbnd  27579  bcp1ctr  27636  lgsquad2lem1  27741  2lgslem3b  27754  selberglem1  27902  selberg3  27916  selbergr  27925  selberg3r  27926  pntlemf  27962  pntlemo  27964  brbtwn2  29513  colinearalglem1  29514  colinearalglem2  29515  swrdwlk  30298  crctcsh  30443  clwwlkccatlem  30610  clwwlkel  30667  clwwlkwwlksb  30675  clwwlknonex2lem1  30728  ltesubnnd  33484  vietalem  34281  constrrtlc1  34434  constrrtcclem  34436  ballotlemfp1  35194  subfacp1lem6  36117  fwddifnp1  37108  poimirlem25  38755  poimirlem26  38756  2np3bcnp1  43386  sticksstones12a  43399  jm2.24nn  44159  jm2.18  44188  jm2.25  44199  dvnmul  47158  fourierdlem4  47326  fourierdlem26  47348  fourierdlem42  47364  vonicclem1  47898  sin5tlem1  48124  sin5tlem4  48127  cos5t  48130  cnambpcma  48569  cnapbmcpd  48570  fmtnorec4  48839  ltsubaddb  49831  ltsubadd2b  49833  2itscplem3  50097