Theorem addsubd 11526

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11404	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11558  lesub2  11645  fzoshftral  13742  modadd1  13867  discr  14202  bcp1n  14278  bcpasc  14283  revccat  14728  crre  15076  isercoll2  15631  binomlem  15794  climcndslem1  15814  binomfallfaclem2  16005  pythagtriplem14  16799  vdwlem6  16957  gsumsgrpccat  18808  srgbinomlem3  20209  itgcnlem  25757  dvcvx  25987  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  plymullem1  26179  aaliou3lem2  26309  abelthlem2  26397  tangtx  26469  loglesqrt  26725  dcubic1  26809  quart1lem  26819  quartlem1  26821  basellem3  27046  basellem5  27048  chtub  27175  logfaclbnd  27185  bcp1ctr  27242  lgsquad2lem1  27347  2lgslem3b  27360  selberglem1  27508  selberg3  27522  selbergr  27531  selberg3r  27532  pntlemf  27568  pntlemo  27570  brbtwn2  28974  colinearalglem1  28975  colinearalglem2  28976  crctcsh  29892  clwwlkccatlem  30059  clwwlkel  30116  clwwlkwwlksb  30124  clwwlknonex2lem1  30177  ltesubnnd  32896  vietalem  33723  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  ballotlemfp1  34636  swrdwlk  35309  subfacp1lem6  35367  fwddifnp1  36347  poimirlem25  37966  poimirlem26  37967  2np3bcnp1  42583  sticksstones12a  42596  jm2.24nn  43387  jm2.18  43416  jm2.25  43427  dvnmul  46371  fourierdlem4  46539  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  vonicclem1  47111  sin5tlem1  47319  sin5tlem4  47322  cnambpcma  47736  cnapbmcpd  47737  fmtnorec4  48006  ltsubaddb  48984  ltsubadd2b  48986  2itscplem3  49250