Theorem addsubd 11599

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   + caddc 11119   − cmin 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453

This theorem is referenced by:  lesub2  11716  fzoshftral  13756  modadd1  13880  discr  14210  bcp1n  14283  bcpasc  14288  revccat  14723  crre  15068  isercoll2  15622  binomlem  15782  climcndslem1  15802  binomfallfaclem2  15991  pythagtriplem14  16768  vdwlem6  16926  gsumsgrpccat  18763  srgbinomlem3  20129  itgcnlem  25639  dvcvx  25873  dvfsumlem1  25880  dvfsumlem2  25881  dvfsumlem2OLD  25882  plymullem1  26066  aaliou3lem2  26195  abelthlem2  26284  tangtx  26355  loglesqrt  26607  dcubic1  26691  quart1lem  26701  quartlem1  26703  basellem3  26928  basellem5  26930  chtub  27058  logfaclbnd  27068  bcp1ctr  27125  lgsquad2lem1  27230  2lgslem3b  27243  selberglem1  27391  selberg3  27405  selbergr  27414  selberg3r  27415  pntlemf  27451  pntlemo  27453  brbtwn2  28596  colinearalglem1  28597  colinearalglem2  28598  crctcsh  29511  clwwlkccatlem  29675  clwwlkel  29732  clwwlkwwlksb  29740  clwwlknonex2lem1  29793  ltesubnnd  32461  ballotlemfp1  33954  swrdwlk  34581  subfacp1lem6  34640  fwddifnp1  35607  poimirlem25  36977  poimirlem26  36978  2np3bcnp1  41427  sticksstones12a  41440  jm2.24nn  42161  jm2.18  42190  jm2.25  42201  dvnmul  45118  fourierdlem4  45286  fourierdlem26  45308  fourierdlem42  45324  vonicclem1  45858  cnambpcma  46461  cnapbmcpd  46462  fmtnorec4  46676  ltsubaddb  47357  ltsubadd2b  47359  2itscplem3  47628