Theorem addsubd 11561

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11593  lesub2  11680  fzoshftral  13752  modadd1  13877  discr  14212  bcp1n  14288  bcpasc  14293  revccat  14738  crre  15087  isercoll2  15642  binomlem  15802  climcndslem1  15822  binomfallfaclem2  16013  pythagtriplem14  16806  vdwlem6  16964  gsumsgrpccat  18774  srgbinomlem3  20144  itgcnlem  25698  dvcvx  25932  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  plymullem1  26126  aaliou3lem2  26258  abelthlem2  26349  tangtx  26421  loglesqrt  26678  dcubic1  26762  quart1lem  26772  quartlem1  26774  basellem3  27000  basellem5  27002  chtub  27130  logfaclbnd  27140  bcp1ctr  27197  lgsquad2lem1  27302  2lgslem3b  27315  selberglem1  27463  selberg3  27477  selbergr  27486  selberg3r  27487  pntlemf  27523  pntlemo  27525  brbtwn2  28839  colinearalglem1  28840  colinearalglem2  28841  crctcsh  29761  clwwlkccatlem  29925  clwwlkel  29982  clwwlkwwlksb  29990  clwwlknonex2lem1  30043  ltesubnnd  32754  constrrtlc1  33729  constrrtcclem  33731  ballotlemfp1  34490  swrdwlk  35121  subfacp1lem6  35179  fwddifnp1  36160  poimirlem25  37646  poimirlem26  37647  2np3bcnp1  42139  sticksstones12a  42152  jm2.24nn  42955  jm2.18  42984  jm2.25  42995  dvnmul  45948  fourierdlem4  46116  fourierdlem26  46138  fourierdlem42  46154  vonicclem1  46688  cnambpcma  47299  cnapbmcpd  47300  fmtnorec4  47554  ltsubaddb  48507  ltsubadd2b  48509  2itscplem3  48773