Theorem addsubd 11503

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014   + caddc 11019   − cmin 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11535  lesub2  11622  fzoshftral  13697  modadd1  13822  discr  14157  bcp1n  14233  bcpasc  14238  revccat  14683  crre  15031  isercoll2  15586  binomlem  15746  climcndslem1  15766  binomfallfaclem2  15957  pythagtriplem14  16750  vdwlem6  16908  gsumsgrpccat  18758  srgbinomlem3  20156  itgcnlem  25728  dvcvx  25962  dvfsumlem1  25969  dvfsumlem2  25970  dvfsumlem2OLD  25971  plymullem1  26156  aaliou3lem2  26288  abelthlem2  26379  tangtx  26451  loglesqrt  26708  dcubic1  26792  quart1lem  26802  quartlem1  26804  basellem3  27030  basellem5  27032  chtub  27160  logfaclbnd  27170  bcp1ctr  27227  lgsquad2lem1  27332  2lgslem3b  27345  selberglem1  27493  selberg3  27507  selbergr  27516  selberg3r  27517  pntlemf  27553  pntlemo  27555  brbtwn2  28894  colinearalglem1  28895  colinearalglem2  28896  crctcsh  29813  clwwlkccatlem  29980  clwwlkel  30037  clwwlkwwlksb  30045  clwwlknonex2lem1  30098  ltesubnnd  32816  constrrtlc1  33756  constrrtcclem  33758  ballotlemfp1  34516  swrdwlk  35182  subfacp1lem6  35240  fwddifnp1  36220  poimirlem25  37695  poimirlem26  37696  2np3bcnp1  42247  sticksstones12a  42260  jm2.24nn  43066  jm2.18  43095  jm2.25  43106  dvnmul  46055  fourierdlem4  46223  fourierdlem26  46245  fourierdlem42  46261  vonicclem1  46795  cnambpcma  47408  cnapbmcpd  47409  fmtnorec4  47663  ltsubaddb  48629  ltsubadd2b  48631  2itscplem3  48895