Theorem addsubd 11554

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11586  lesub2  11673  fzoshftral  13745  modadd1  13870  discr  14205  bcp1n  14281  bcpasc  14286  revccat  14731  crre  15080  isercoll2  15635  binomlem  15795  climcndslem1  15815  binomfallfaclem2  16006  pythagtriplem14  16799  vdwlem6  16957  gsumsgrpccat  18767  srgbinomlem3  20137  itgcnlem  25691  dvcvx  25925  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  plymullem1  26119  aaliou3lem2  26251  abelthlem2  26342  tangtx  26414  loglesqrt  26671  dcubic1  26755  quart1lem  26765  quartlem1  26767  basellem3  26993  basellem5  26995  chtub  27123  logfaclbnd  27133  bcp1ctr  27190  lgsquad2lem1  27295  2lgslem3b  27308  selberglem1  27456  selberg3  27470  selbergr  27479  selberg3r  27480  pntlemf  27516  pntlemo  27518  brbtwn2  28832  colinearalglem1  28833  colinearalglem2  28834  crctcsh  29754  clwwlkccatlem  29918  clwwlkel  29975  clwwlkwwlksb  29983  clwwlknonex2lem1  30036  ltesubnnd  32747  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  ballotlemfp1  34483  swrdwlk  35114  subfacp1lem6  35172  fwddifnp1  36153  poimirlem25  37639  poimirlem26  37640  2np3bcnp1  42132  sticksstones12a  42145  jm2.24nn  42948  jm2.18  42977  jm2.25  42988  dvnmul  45941  fourierdlem4  46109  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  vonicclem1  46681  cnambpcma  47295  cnapbmcpd  47296  fmtnorec4  47550  ltsubaddb  48503  ltsubadd2b  48505  2itscplem3  48769