Theorem addsubd 11018

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535   + caddc 10540   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  lesub2  11135  fzoshftral  13155  modadd1  13277  discr  13602  bcp1n  13677  bcpasc  13682  revccat  14128  crre  14473  isercoll2  15025  binomlem  15184  climcndslem1  15204  binomfallfaclem2  15394  pythagtriplem14  16165  vdwlem6  16322  gsumsgrpccat  18004  gsumccatOLD  18005  srgbinomlem3  19292  itgcnlem  24390  dvcvx  24617  dvfsumlem1  24623  dvfsumlem2  24624  plymullem1  24804  aaliou3lem2  24932  abelthlem2  25020  tangtx  25091  loglesqrt  25339  dcubic1  25423  quart1lem  25433  quartlem1  25435  basellem3  25660  basellem5  25662  chtub  25788  logfaclbnd  25798  bcp1ctr  25855  lgsquad2lem1  25960  2lgslem3b  25973  selberglem1  26121  selberg3  26135  selbergr  26144  selberg3r  26145  pntlemf  26181  pntlemo  26183  brbtwn2  26691  colinearalglem1  26692  colinearalglem2  26693  crctcsh  27602  clwwlkccatlem  27767  clwwlkel  27825  clwwlkwwlksb  27833  clwwlknonex2lem1  27886  ltesubnnd  30538  ballotlemfp1  31749  swrdwlk  32373  subfacp1lem6  32432  fwddifnp1  33626  poimirlem25  34932  poimirlem26  34933  jm2.24nn  39605  jm2.18  39634  jm2.25  39645  dvnmul  42277  fourierdlem4  42445  fourierdlem26  42467  fourierdlem42  42483  vonicclem1  43014  cnambpcma  43543  cnapbmcpd  43544  fmtnorec4  43760  ltsubaddb  44618  ltsubadd2b  44620  2itscplem3  44816