Theorem addsubd 11608

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  addsubsub23  11640  lesub2  11727  fzoshftral  13835  modadd1  13961  discr  14296  bcp1n  14372  bcpasc  14377  revccat  14827  crre  15191  isercoll2  15746  binomlem  15909  climcndslem1  15929  binomfallfaclem2  16119  pythagtriplem14  16913  vdwlem6  17071  gsumsgrpccat  18924  srgbinomlem3  20335  itgcnlem  25979  dvcvx  26209  dvfsumlem1  26215  dvfsumlem2  26216  plymullem1  26401  aaliou3lem2  26536  abelthlem2  26625  tangtx  26700  loglesqrt  26956  dcubic1  27040  quart1lem  27050  quartlem1  27052  basellem3  27277  basellem5  27279  chtub  27406  logfaclbnd  27416  bcp1ctr  27473  lgsquad2lem1  27578  2lgslem3b  27591  selberglem1  27739  selberg3  27753  selbergr  27762  selberg3r  27763  pntlemf  27799  pntlemo  27801  brbtwn2  29285  colinearalglem1  29286  colinearalglem2  29287  crctcsh  30203  clwwlkccatlem  30370  clwwlkel  30427  clwwlkwwlksb  30435  clwwlknonex2lem1  30488  ltesubnnd  33197  vietalem  33993  constrrtlc1  34146  constrrtcclem  34148  ballotlemfp1  34906  swrdwlk  35632  subfacp1lem6  35690  fwddifnp1  36670  poimirlem25  38329  poimirlem26  38330  2np3bcnp1  42944  sticksstones12a  42957  jm2.24nn  43719  jm2.18  43748  jm2.25  43759  dvnmul  46690  fourierdlem4  46858  fourierdlem26  46880  fourierdlem42  46896  vonicclem1  47430  sin5tlem1  47643  sin5tlem4  47646  cos5t  47649  cnambpcma  48064  cnapbmcpd  48065  fmtnorec4  48334  ltsubaddb  49327  ltsubadd2b  49329  2itscplem3  49593