Theorem addsubd 11514

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11392	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11546  lesub2  11633  fzoshftral  13705  modadd1  13830  discr  14165  bcp1n  14241  bcpasc  14246  revccat  14690  crre  15039  isercoll2  15594  binomlem  15754  climcndslem1  15774  binomfallfaclem2  15965  pythagtriplem14  16758  vdwlem6  16916  gsumsgrpccat  18732  srgbinomlem3  20131  itgcnlem  25707  dvcvx  25941  dvfsumlem1  25948  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  plymullem1  26135  aaliou3lem2  26267  abelthlem2  26358  tangtx  26430  loglesqrt  26687  dcubic1  26771  quart1lem  26781  quartlem1  26783  basellem3  27009  basellem5  27011  chtub  27139  logfaclbnd  27149  bcp1ctr  27206  lgsquad2lem1  27311  2lgslem3b  27324  selberglem1  27472  selberg3  27486  selbergr  27495  selberg3r  27496  pntlemf  27532  pntlemo  27534  brbtwn2  28868  colinearalglem1  28869  colinearalglem2  28870  crctcsh  29787  clwwlkccatlem  29951  clwwlkel  30008  clwwlkwwlksb  30016  clwwlknonex2lem1  30069  ltesubnnd  32780  constrrtlc1  33698  constrrtcclem  33700  ballotlemfp1  34459  swrdwlk  35099  subfacp1lem6  35157  fwddifnp1  36138  poimirlem25  37624  poimirlem26  37625  2np3bcnp1  42117  sticksstones12a  42130  jm2.24nn  42932  jm2.18  42961  jm2.25  42972  dvnmul  45925  fourierdlem4  46093  fourierdlem26  46115  fourierdlem42  46131  vonicclem1  46665  cnambpcma  47279  cnapbmcpd  47280  fmtnorec4  47534  ltsubaddb  48487  ltsubadd2b  48489  2itscplem3  48753