Theorem addsubd 11524

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11556  lesub2  11643  fzoshftral  13740  modadd1  13865  discr  14200  bcp1n  14276  bcpasc  14281  revccat  14726  crre  15074  isercoll2  15629  binomlem  15792  climcndslem1  15812  binomfallfaclem2  16003  pythagtriplem14  16797  vdwlem6  16955  gsumsgrpccat  18806  srgbinomlem3  20207  itgcnlem  25782  dvcvx  26012  dvfsumlem1  26018  dvfsumlem2  26019  plymullem1  26204  aaliou3lem2  26334  abelthlem2  26422  tangtx  26494  loglesqrt  26750  dcubic1  26834  quart1lem  26844  quartlem1  26846  basellem3  27071  basellem5  27073  chtub  27200  logfaclbnd  27210  bcp1ctr  27267  lgsquad2lem1  27372  2lgslem3b  27385  selberglem1  27533  selberg3  27547  selbergr  27556  selberg3r  27557  pntlemf  27593  pntlemo  27595  brbtwn2  28999  colinearalglem1  29000  colinearalglem2  29001  crctcsh  29917  clwwlkccatlem  30084  clwwlkel  30141  clwwlkwwlksb  30149  clwwlknonex2lem1  30202  ltesubnnd  32922  vietalem  33770  constrrtlc1  33923  constrrtcclem  33925  ballotlemfp1  34683  swrdwlk  35356  subfacp1lem6  35414  fwddifnp1  36394  poimirlem25  38013  poimirlem26  38014  2np3bcnp1  42630  sticksstones12a  42643  jm2.24nn  43405  jm2.18  43434  jm2.25  43445  dvnmul  46387  fourierdlem4  46555  fourierdlem26  46577  fourierdlem42  46593  vonicclem1  47127  sin5tlem1  47337  sin5tlem4  47340  cos5t  47343  cnambpcma  47758  cnapbmcpd  47759  fmtnorec4  48028  ltsubaddb  49006  ltsubadd2b  49008  2itscplem3  49272