Theorem addsubd 11515

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025   + caddc 11030   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11547  lesub2  11634  fzoshftral  13731  modadd1  13856  discr  14191  bcp1n  14267  bcpasc  14272  revccat  14717  crre  15065  isercoll2  15620  binomlem  15783  climcndslem1  15803  binomfallfaclem2  15994  pythagtriplem14  16788  vdwlem6  16946  gsumsgrpccat  18797  srgbinomlem3  20198  itgcnlem  25766  dvcvx  25997  dvfsumlem1  26004  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  plymullem1  26191  aaliou3lem2  26322  abelthlem2  26413  tangtx  26485  loglesqrt  26742  dcubic1  26826  quart1lem  26836  quartlem1  26838  basellem3  27064  basellem5  27066  chtub  27194  logfaclbnd  27204  bcp1ctr  27261  lgsquad2lem1  27366  2lgslem3b  27379  selberglem1  27527  selberg3  27541  selbergr  27550  selberg3r  27551  pntlemf  27587  pntlemo  27589  brbtwn2  28993  colinearalglem1  28994  colinearalglem2  28995  crctcsh  29912  clwwlkccatlem  30079  clwwlkel  30136  clwwlkwwlksb  30144  clwwlknonex2lem1  30197  ltesubnnd  32916  vietalem  33743  constrrtlc1  33897  constrrtcclem  33899  ballotlemfp1  34657  swrdwlk  35330  subfacp1lem6  35388  fwddifnp1  36368  poimirlem25  37977  poimirlem26  37978  2np3bcnp1  42594  sticksstones12a  42607  jm2.24nn  43402  jm2.18  43431  jm2.25  43442  dvnmul  46386  fourierdlem4  46554  fourierdlem26  46576  fourierdlem42  46592  vonicclem1  47126  cnambpcma  47739  cnapbmcpd  47740  fmtnorec4  48009  ltsubaddb  48987  ltsubadd2b  48989  2itscplem3  49253