Theorem addsubd 11668

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  lesub2  11785  fzoshftral  13834  modadd1  13959  discr  14289  bcp1n  14365  bcpasc  14370  revccat  14814  crre  15163  isercoll2  15717  binomlem  15877  climcndslem1  15897  binomfallfaclem2  16088  pythagtriplem14  16875  vdwlem6  17033  gsumsgrpccat  18875  srgbinomlem3  20255  itgcnlem  25845  dvcvx  26079  dvfsumlem1  26086  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  plymullem1  26273  aaliou3lem2  26403  abelthlem2  26494  tangtx  26565  loglesqrt  26822  dcubic1  26906  quart1lem  26916  quartlem1  26918  basellem3  27144  basellem5  27146  chtub  27274  logfaclbnd  27284  bcp1ctr  27341  lgsquad2lem1  27446  2lgslem3b  27459  selberglem1  27607  selberg3  27621  selbergr  27630  selberg3r  27631  pntlemf  27667  pntlemo  27669  brbtwn2  28938  colinearalglem1  28939  colinearalglem2  28940  crctcsh  29857  clwwlkccatlem  30021  clwwlkel  30078  clwwlkwwlksb  30086  clwwlknonex2lem1  30139  ltesubnnd  32826  constrrtlc1  33723  constrrtcclem  33725  ballotlemfp1  34456  swrdwlk  35094  subfacp1lem6  35153  fwddifnp1  36129  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  2np3bcnp1  42101  sticksstones12a  42114  jm2.24nn  42916  jm2.18  42945  jm2.25  42956  dvnmul  45864  fourierdlem4  46032  fourierdlem26  46054  fourierdlem42  46070  vonicclem1  46604  cnambpcma  47209  cnapbmcpd  47210  fmtnorec4  47423  ltsubaddb  48243  ltsubadd2b  48245  2itscplem3  48514