Theorem addsubd 11642

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11520	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154   + caddc 11159   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  lesub2  11759  fzoshftral  13824  modadd1  13949  discr  14280  bcp1n  14356  bcpasc  14361  revccat  14805  crre  15154  isercoll2  15706  binomlem  15866  climcndslem1  15886  binomfallfaclem2  16077  pythagtriplem14  16867  vdwlem6  17025  gsumsgrpccat  18854  srgbinomlem3  20226  itgcnlem  25826  dvcvx  26060  dvfsumlem1  26067  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  plymullem1  26254  aaliou3lem2  26386  abelthlem2  26477  tangtx  26548  loglesqrt  26805  dcubic1  26889  quart1lem  26899  quartlem1  26901  basellem3  27127  basellem5  27129  chtub  27257  logfaclbnd  27267  bcp1ctr  27324  lgsquad2lem1  27429  2lgslem3b  27442  selberglem1  27590  selberg3  27604  selbergr  27613  selberg3r  27614  pntlemf  27650  pntlemo  27652  brbtwn2  28921  colinearalglem1  28922  colinearalglem2  28923  crctcsh  29845  clwwlkccatlem  30009  clwwlkel  30066  clwwlkwwlksb  30074  clwwlknonex2lem1  30127  ltesubnnd  32825  constrrtlc1  33774  constrrtcclem  33776  ballotlemfp1  34495  swrdwlk  35133  subfacp1lem6  35191  fwddifnp1  36167  poimirlem25  37653  poimirlem26  37654  2np3bcnp1  42146  sticksstones12a  42159  jm2.24nn  42976  jm2.18  43005  jm2.25  43016  dvnmul  45963  fourierdlem4  46131  fourierdlem26  46153  fourierdlem42  46169  vonicclem1  46703  cnambpcma  47311  cnapbmcpd  47312  fmtnorec4  47541  ltsubaddb  48436  ltsubadd2b  48438  2itscplem3  48706