Theorem addsubd 11592

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11471	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  lesub2  11709  fzoshftral  13749  modadd1  13873  discr  14203  bcp1n  14276  bcpasc  14281  revccat  14716  crre  15061  isercoll2  15615  binomlem  15775  climcndslem1  15795  binomfallfaclem2  15984  pythagtriplem14  16761  vdwlem6  16919  gsumsgrpccat  18721  srgbinomlem3  20051  itgcnlem  25307  dvcvx  25537  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  plymullem1  25728  aaliou3lem2  25856  abelthlem2  25944  tangtx  26015  loglesqrt  26266  dcubic1  26350  quart1lem  26360  quartlem1  26362  basellem3  26587  basellem5  26589  chtub  26715  logfaclbnd  26725  bcp1ctr  26782  lgsquad2lem1  26887  2lgslem3b  26900  selberglem1  27048  selberg3  27062  selbergr  27071  selberg3r  27072  pntlemf  27108  pntlemo  27110  brbtwn2  28163  colinearalglem1  28164  colinearalglem2  28165  crctcsh  29078  clwwlkccatlem  29242  clwwlkel  29299  clwwlkwwlksb  29307  clwwlknonex2lem1  29360  ltesubnnd  32028  ballotlemfp1  33490  swrdwlk  34117  subfacp1lem6  34176  fwddifnp1  35137  gg-dvfsumlem2  35183  poimirlem25  36513  poimirlem26  36514  2np3bcnp1  40960  sticksstones12a  40973  jm2.24nn  41698  jm2.18  41727  jm2.25  41738  dvnmul  44659  fourierdlem4  44827  fourierdlem26  44849  fourierdlem42  44865  vonicclem1  45399  cnambpcma  46002  cnapbmcpd  46003  fmtnorec4  46217  ltsubaddb  47195  ltsubadd2b  47197  2itscplem3  47466