Theorem addsubd 10741

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10620	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1494	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  ℂcc 10257   + caddc 10262   − cmin 10592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403  df-sub 10594

This theorem is referenced by:  lesub2  10854  fzoshftral  12887  modadd1  13009  discr  13302  bcp1n  13403  bcpasc  13408  revccat  13889  crre  14238  isercoll2  14783  binomlem  14942  climcndslem1  14962  binomfallfaclem2  15150  pythagtriplem14  15911  vdwlem6  16068  gsumccat  17738  srgbinomlem3  18903  itgcnlem  23962  dvcvx  24189  dvfsumlem1  24195  dvfsumlem2  24196  plymullem1  24376  aaliou3lem2  24504  abelthlem2  24592  tangtx  24664  loglesqrt  24908  dcubic1  24992  quart1lem  25002  quartlem1  25004  basellem3  25229  basellem5  25231  chtub  25357  logfaclbnd  25367  bcp1ctr  25424  lgsquad2lem1  25529  2lgslem3b  25542  selberglem1  25654  selberg3  25668  selbergr  25677  selberg3r  25678  pntlemf  25714  pntlemo  25716  brbtwn2  26211  colinearalglem1  26212  colinearalglem2  26213  crctcsh  27130  clwwlkccatlem  27325  clwwlkel  27392  clwwlkwwlksb  27406  clwwlknonex2lem1  27478  ltesubnnd  30111  ballotlemfp1  31095  subfacp1lem6  31709  fwddifnp1  32806  poimirlem25  33977  poimirlem26  33978  jm2.24nn  38368  jm2.18  38397  jm2.25  38408  dvnmul  40951  fourierdlem4  41120  fourierdlem26  41142  fourierdlem42  41158  vonicclem1  41689  cnambpcma  42196  cnapbmcpd  42197  fmtnorec4  42309  ltsubaddb  43169  ltsubadd2b  43171