Theorem addsubd 11623

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135   + caddc 11140   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  lesub2  11740  fzoshftral  13805  modadd1  13930  discr  14261  bcp1n  14337  bcpasc  14342  revccat  14786  crre  15135  isercoll2  15687  binomlem  15847  climcndslem1  15867  binomfallfaclem2  16058  pythagtriplem14  16848  vdwlem6  17006  gsumsgrpccat  18822  srgbinomlem3  20193  itgcnlem  25761  dvcvx  25995  dvfsumlem1  26002  dvfsumlem2  26003  dvfsumlem2OLD  26004  plymullem1  26189  aaliou3lem2  26321  abelthlem2  26412  tangtx  26483  loglesqrt  26740  dcubic1  26824  quart1lem  26834  quartlem1  26836  basellem3  27062  basellem5  27064  chtub  27192  logfaclbnd  27202  bcp1ctr  27259  lgsquad2lem1  27364  2lgslem3b  27377  selberglem1  27525  selberg3  27539  selbergr  27548  selberg3r  27549  pntlemf  27585  pntlemo  27587  brbtwn2  28850  colinearalglem1  28851  colinearalglem2  28852  crctcsh  29772  clwwlkccatlem  29936  clwwlkel  29993  clwwlkwwlksb  30001  clwwlknonex2lem1  30054  ltesubnnd  32764  constrrtlc1  33712  constrrtcclem  33714  ballotlemfp1  34453  swrdwlk  35091  subfacp1lem6  35149  fwddifnp1  36125  poimirlem25  37611  poimirlem26  37612  2np3bcnp1  42104  sticksstones12a  42117  jm2.24nn  42934  jm2.18  42963  jm2.25  42974  dvnmul  45915  fourierdlem4  46083  fourierdlem26  46105  fourierdlem42  46121  vonicclem1  46655  cnambpcma  47264  cnapbmcpd  47265  fmtnorec4  47494  ltsubaddb  48389  ltsubadd2b  48391  2itscplem3  48659