Theorem addsubd 11671

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11549	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  addsubsub23  11703  lesub2  11792  fzoshftral  13902  modadd1  14028  discr  14364  bcp1n  14440  bcpasc  14445  revccat  14895  crre  15261  isercoll2  15816  binomlem  15978  climcndslem1  15998  binomfallfaclem2  16186  pythagtriplem14  16986  vdwlem6  17144  gsumsgrpccat  19016  srgbinomlem3  20434  itgcnlem  26090  dvcvx  26320  dvfsumlem1  26326  dvfsumlem2  26327  plymullem1  26513  aaliou3lem2  26652  abelthlem2  26741  tangtx  26816  loglesqrt  27071  dcubic1  27155  quart1lem  27165  quartlem1  27167  basellem3  27392  basellem5  27394  chtub  27521  logfaclbnd  27531  bcp1ctr  27588  lgsquad2lem1  27693  2lgslem3b  27706  selberglem1  27854  selberg3  27868  selbergr  27877  selberg3r  27878  pntlemf  27914  pntlemo  27916  brbtwn2  29465  colinearalglem1  29466  colinearalglem2  29467  swrdwlk  30250  crctcsh  30395  clwwlkccatlem  30562  clwwlkel  30619  clwwlkwwlksb  30627  clwwlknonex2lem1  30680  ltesubnnd  33396  vietalem  34193  constrrtlc1  34346  constrrtcclem  34348  ballotlemfp1  35107  subfacp1lem6  35919  fwddifnp1  36900  poimirlem25  38531  poimirlem26  38532  2np3bcnp1  43162  sticksstones12a  43175  jm2.24nn  43919  jm2.18  43948  jm2.25  43959  dvnmul  46897  fourierdlem4  47065  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  vonicclem1  47637  sin5tlem1  47863  sin5tlem4  47866  cos5t  47869  cnambpcma  48308  cnapbmcpd  48309  fmtnorec4  48578  ltsubaddb  49570  ltsubadd2b  49572  2itscplem3  49836