Theorem addsubd 11614

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11128   + caddc 11133   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  lesub2  11731  fzoshftral  13773  modadd1  13897  discr  14226  bcp1n  14299  bcpasc  14304  revccat  14740  crre  15085  isercoll2  15639  binomlem  15799  climcndslem1  15819  binomfallfaclem2  16008  pythagtriplem14  16788  vdwlem6  16946  gsumsgrpccat  18783  srgbinomlem3  20159  itgcnlem  25706  dvcvx  25940  dvfsumlem1  25947  dvfsumlem2  25948  dvfsumlem2OLD  25949  plymullem1  26135  aaliou3lem2  26265  abelthlem2  26356  tangtx  26427  loglesqrt  26680  dcubic1  26764  quart1lem  26774  quartlem1  26776  basellem3  27002  basellem5  27004  chtub  27132  logfaclbnd  27142  bcp1ctr  27199  lgsquad2lem1  27304  2lgslem3b  27317  selberglem1  27465  selberg3  27479  selbergr  27488  selberg3r  27489  pntlemf  27525  pntlemo  27527  brbtwn2  28703  colinearalglem1  28704  colinearalglem2  28705  crctcsh  29622  clwwlkccatlem  29786  clwwlkel  29843  clwwlkwwlksb  29851  clwwlknonex2lem1  29904  ltesubnnd  32567  ballotlemfp1  34047  swrdwlk  34672  subfacp1lem6  34731  fwddifnp1  35697  poimirlem25  37053  poimirlem26  37054  2np3bcnp1  41548  sticksstones12a  41561  jm2.24nn  42302  jm2.18  42331  jm2.25  42342  dvnmul  45254  fourierdlem4  45422  fourierdlem26  45444  fourierdlem42  45460  vonicclem1  45994  cnambpcma  46597  cnapbmcpd  46598  fmtnorec4  46812  ltsubaddb  47505  ltsubadd2b  47507  2itscplem3  47776