Theorem addsubd 11578

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11456	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11610  lesub2  11697  fzoshftral  13807  modadd1  13932  discr  14267  bcp1n  14343  bcpasc  14348  revccat  14793  crre  15155  isercoll2  15710  binomlem  15873  climcndslem1  15893  binomfallfaclem2  16084  pythagtriplem14  16878  vdwlem6  17036  gsumsgrpccat  18889  srgbinomlem3  20301  itgcnlem  25910  dvcvx  26140  dvfsumlem1  26146  dvfsumlem2  26147  plymullem1  26332  aaliou3lem2  26465  abelthlem2  26553  tangtx  26628  loglesqrt  26884  dcubic1  26968  quart1lem  26978  quartlem1  26980  basellem3  27205  basellem5  27207  chtub  27334  logfaclbnd  27344  bcp1ctr  27401  lgsquad2lem1  27506  2lgslem3b  27519  selberglem1  27667  selberg3  27681  selbergr  27690  selberg3r  27691  pntlemf  27727  pntlemo  27729  brbtwn2  29164  colinearalglem1  29165  colinearalglem2  29166  crctcsh  30082  clwwlkccatlem  30249  clwwlkel  30306  clwwlkwwlksb  30314  clwwlknonex2lem1  30367  ltesubnnd  33080  vietalem  33886  constrrtlc1  34039  constrrtcclem  34041  ballotlemfp1  34799  swrdwlk  35490  subfacp1lem6  35548  fwddifnp1  36528  poimirlem25  38156  poimirlem26  38157  2np3bcnp1  42773  sticksstones12a  42786  jm2.24nn  43548  jm2.18  43577  jm2.25  43588  dvnmul  46515  fourierdlem4  46683  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  vonicclem1  47255  sin5tlem1  47465  sin5tlem4  47468  cos5t  47471  cnambpcma  47886  cnapbmcpd  47887  fmtnorec4  48156  ltsubaddb  49145  ltsubadd2b  49147  2itscplem3  49411