Theorem addsubd 11693

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  addsubsub23  11725  lesub2  11814  fzoshftral  13925  modadd1  14051  discr  14387  bcp1n  14463  bcpasc  14468  revccat  14919  crre  15286  isercoll2  15841  binomlem  16003  climcndslem1  16023  binomfallfaclem2  16211  pythagtriplem14  17011  vdwlem6  17169  gsumsgrpccat  19041  srgbinomlem3  20459  itgcnlem  26115  dvcvx  26345  dvfsumlem1  26351  dvfsumlem2  26352  plymullem1  26538  aaliou3lem2  26675  abelthlem2  26764  tangtx  26839  loglesqrt  27094  dcubic1  27178  quart1lem  27188  quartlem1  27190  basellem3  27415  basellem5  27417  chtub  27544  logfaclbnd  27554  bcp1ctr  27611  lgsquad2lem1  27716  2lgslem3b  27729  selberglem1  27877  selberg3  27891  selbergr  27900  selberg3r  27901  pntlemf  27937  pntlemo  27939  brbtwn2  29488  colinearalglem1  29489  colinearalglem2  29490  swrdwlk  30273  crctcsh  30418  clwwlkccatlem  30585  clwwlkel  30642  clwwlkwwlksb  30650  clwwlknonex2lem1  30703  ltesubnnd  33460  vietalem  34257  constrrtlc1  34410  constrrtcclem  34412  ballotlemfp1  35170  subfacp1lem6  36036  fwddifnp1  37022  poimirlem25  38656  poimirlem26  38657  2np3bcnp1  43287  sticksstones12a  43300  jm2.24nn  44059  jm2.18  44088  jm2.25  44099  dvnmul  47046  fourierdlem4  47214  fourierdlem26  47236  fourierdlem42  47252  vonicclem1  47786  sin5tlem1  48012  sin5tlem4  48015  cos5t  48018  cnambpcma  48457  cnapbmcpd  48458  fmtnorec4  48727  ltsubaddb  49719  ltsubadd2b  49721  2itscplem3  49985