Theorem addsubd 11283

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  lesub2  11400  fzoshftral  13432  modadd1  13556  discr  13883  bcp1n  13958  bcpasc  13963  revccat  14407  crre  14753  isercoll2  15308  binomlem  15469  climcndslem1  15489  binomfallfaclem2  15678  pythagtriplem14  16457  vdwlem6  16615  gsumsgrpccat  18393  gsumccatOLD  18394  srgbinomlem3  19693  itgcnlem  24859  dvcvx  25089  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem2  25096  plymullem1  25280  aaliou3lem2  25408  abelthlem2  25496  tangtx  25567  loglesqrt  25816  dcubic1  25900  quart1lem  25910  quartlem1  25912  basellem3  26137  basellem5  26139  chtub  26265  logfaclbnd  26275  bcp1ctr  26332  lgsquad2lem1  26437  2lgslem3b  26450  selberglem1  26598  selberg3  26612  selbergr  26621  selberg3r  26622  pntlemf  26658  pntlemo  26660  brbtwn2  27176  colinearalglem1  27177  colinearalglem2  27178  crctcsh  28090  clwwlkccatlem  28254  clwwlkel  28311  clwwlkwwlksb  28319  clwwlknonex2lem1  28372  ltesubnnd  31038  ballotlemfp1  32358  swrdwlk  32988  subfacp1lem6  33047  fwddifnp1  34394  poimirlem25  35729  poimirlem26  35730  2np3bcnp1  40028  sticksstones12a  40041  jm2.24nn  40697  jm2.18  40726  jm2.25  40737  dvnmul  43374  fourierdlem4  43542  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  vonicclem1  44111  cnambpcma  44674  cnapbmcpd  44675  fmtnorec4  44889  ltsubaddb  45743  ltsubadd2b  45745  2itscplem3  46014