Theorem addsubd 10705

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 10584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1491	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878  ℂcc 10222   + caddc 10227   − cmin 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-sub 10558

This theorem is referenced by:  lesub2  10815  fzoshftral  12840  modadd1  12962  discr  13255  bcp1n  13356  bcpasc  13361  revccat  13846  crre  14195  isercoll2  14740  binomlem  14899  climcndslem1  14919  binomfallfaclem2  15107  pythagtriplem14  15866  vdwlem6  16023  gsumccat  17693  srgbinomlem3  18858  itgcnlem  23897  dvcvx  24124  dvfsumlem1  24130  dvfsumlem2  24131  plymullem1  24311  aaliou3lem2  24439  abelthlem2  24527  tangtx  24599  loglesqrt  24843  dcubic1  24924  quart1lem  24934  quartlem1  24936  basellem3  25161  basellem5  25163  chtub  25289  logfaclbnd  25299  bcp1ctr  25356  lgsquad2lem1  25461  2lgslem3b  25474  selberglem1  25586  selberg3  25600  selbergr  25609  selberg3r  25610  pntlemf  25646  pntlemo  25648  brbtwn2  26142  colinearalglem1  26143  colinearalglem2  26144  crctcsh  27075  clwwlkccatlem  27282  clwwlkel  27355  clwwlkwwlksb  27370  clwwlknonex2lem1  27447  ltesubnnd  30086  ballotlemfp1  31070  subfacp1lem6  31684  fwddifnp1  32785  poimirlem25  33923  poimirlem26  33924  jm2.24nn  38311  jm2.18  38340  jm2.25  38351  dvnmul  40902  fourierdlem4  41071  fourierdlem26  41093  fourierdlem42  41109  vonicclem1  41643  cnambpcma  42150  cnapbmcpd  42151  fmtnorec4  42243  ltsubaddb  43103  ltsubadd2b  43105