Theorem addsubd 11525

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11557  lesub2  11644  fzoshftral  13715  modadd1  13840  discr  14175  bcp1n  14251  bcpasc  14256  revccat  14701  crre  15049  isercoll2  15604  binomlem  15764  climcndslem1  15784  binomfallfaclem2  15975  pythagtriplem14  16768  vdwlem6  16926  gsumsgrpccat  18777  srgbinomlem3  20175  itgcnlem  25759  dvcvx  25993  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  plymullem1  26187  aaliou3lem2  26319  abelthlem2  26410  tangtx  26482  loglesqrt  26739  dcubic1  26823  quart1lem  26833  quartlem1  26835  basellem3  27061  basellem5  27063  chtub  27191  logfaclbnd  27201  bcp1ctr  27258  lgsquad2lem1  27363  2lgslem3b  27376  selberglem1  27524  selberg3  27538  selbergr  27547  selberg3r  27548  pntlemf  27584  pntlemo  27586  brbtwn2  28990  colinearalglem1  28991  colinearalglem2  28992  crctcsh  29909  clwwlkccatlem  30076  clwwlkel  30133  clwwlkwwlksb  30141  clwwlknonex2lem1  30194  ltesubnnd  32913  vietalem  33755  constrrtlc1  33909  constrrtcclem  33911  ballotlemfp1  34669  swrdwlk  35340  subfacp1lem6  35398  fwddifnp1  36378  poimirlem25  37885  poimirlem26  37886  2np3bcnp1  42503  sticksstones12a  42516  jm2.24nn  43305  jm2.18  43334  jm2.25  43345  dvnmul  46290  fourierdlem4  46458  fourierdlem26  46480  fourierdlem42  46496  vonicclem1  47030  cnambpcma  47643  cnapbmcpd  47644  fmtnorec4  47898  ltsubaddb  48863  ltsubadd2b  48865  2itscplem3  49129