MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubd 11010
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addsubd (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 addsub 10889 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  cc 10527   + caddc 10532  cmin 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864
This theorem is referenced by:  lesub2  11127  fzoshftral  13146  modadd1  13268  discr  13593  bcp1n  13668  bcpasc  13673  revccat  14120  crre  14465  isercoll2  15017  binomlem  15176  climcndslem1  15196  binomfallfaclem2  15386  pythagtriplem14  16157  vdwlem6  16314  gsumsgrpccat  17996  gsumccatOLD  17997  srgbinomlem3  19284  itgcnlem  24382  dvcvx  24609  dvfsumlem1  24615  dvfsumlem2  24616  plymullem1  24796  aaliou3lem2  24924  abelthlem2  25012  tangtx  25083  loglesqrt  25331  dcubic1  25415  quart1lem  25425  quartlem1  25427  basellem3  25652  basellem5  25654  chtub  25780  logfaclbnd  25790  bcp1ctr  25847  lgsquad2lem1  25952  2lgslem3b  25965  selberglem1  26113  selberg3  26127  selbergr  26136  selberg3r  26137  pntlemf  26173  pntlemo  26175  brbtwn2  26683  colinearalglem1  26684  colinearalglem2  26685  crctcsh  27594  clwwlkccatlem  27759  clwwlkel  27817  clwwlkwwlksb  27825  clwwlknonex2lem1  27878  ltesubnnd  30531  ballotlemfp1  31737  swrdwlk  32361  subfacp1lem6  32420  fwddifnp1  33614  poimirlem25  34904  poimirlem26  34905  jm2.24nn  39541  jm2.18  39570  jm2.25  39581  dvnmul  42212  fourierdlem4  42381  fourierdlem26  42403  fourierdlem42  42419  vonicclem1  42950  cnambpcma  43479  cnapbmcpd  43480  fmtnorec4  43696  ltsubaddb  44554  ltsubadd2b  44556  2itscplem3  44752
  Copyright terms: Public domain W3C validator