Theorem addsubd 11485

Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsubd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem addsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub 11363	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℂcc 10996   + caddc 11001   − cmin 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338

This theorem is referenced by:  addsubsub23  11517  lesub2  11604  fzoshftral  13679  modadd1  13804  discr  14139  bcp1n  14215  bcpasc  14220  revccat  14665  crre  15013  isercoll2  15568  binomlem  15728  climcndslem1  15748  binomfallfaclem2  15939  pythagtriplem14  16732  vdwlem6  16890  gsumsgrpccat  18740  srgbinomlem3  20139  itgcnlem  25711  dvcvx  25945  dvfsumlem1  25952  dvfsumlem2  25953  dvfsumlem2OLD  25954  plymullem1  26139  aaliou3lem2  26271  abelthlem2  26362  tangtx  26434  loglesqrt  26691  dcubic1  26775  quart1lem  26785  quartlem1  26787  basellem3  27013  basellem5  27015  chtub  27143  logfaclbnd  27153  bcp1ctr  27210  lgsquad2lem1  27315  2lgslem3b  27328  selberglem1  27476  selberg3  27490  selbergr  27499  selberg3r  27500  pntlemf  27536  pntlemo  27538  brbtwn2  28876  colinearalglem1  28877  colinearalglem2  28878  crctcsh  29795  clwwlkccatlem  29959  clwwlkel  30016  clwwlkwwlksb  30024  clwwlknonex2lem1  30077  ltesubnnd  32795  constrrtlc1  33735  constrrtcclem  33737  ballotlemfp1  34495  swrdwlk  35139  subfacp1lem6  35197  fwddifnp1  36178  poimirlem25  37664  poimirlem26  37665  2np3bcnp1  42156  sticksstones12a  42169  jm2.24nn  42971  jm2.18  43000  jm2.25  43011  dvnmul  45960  fourierdlem4  46128  fourierdlem26  46150  fourierdlem42  46166  vonicclem1  46700  cnambpcma  47304  cnapbmcpd  47305  fmtnorec4  47559  ltsubaddb  48525  ltsubadd2b  48527  2itscplem3  48791