Theorem subsubadd23 11616

Description: Swap the second and the third terms in a difference of a difference and a sum. (Contributed by AV, 15-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addsub4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subsubadd23	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem subsubadd23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sub32d 11596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 − 𝐶) − 𝐵))
5	4	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) − 𝐷) = (((𝐴 − 𝐶) − 𝐵) − 𝐷))
6	1, 2	subcld 11564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7		addsub4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	6, 3, 7	subsub4d 11595	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) − 𝐶) − 𝐷) = ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 3	subcld 11564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
10	9, 2, 7	subsub4d 11595	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) − 𝐵) − 𝐷) = ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
11	5, 8, 10	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   − cmin 11436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438

This theorem is referenced by:  modmkpkne  48104  pgnbgreunbgrlem2lem1  48879  pgnbgreunbgrlem2lem2  48880