Theorem affineequiv4 26674

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem affineequiv4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv3 26673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
6	3, 2	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	subadd2d 11587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴))
9		eqcom 2731	. . 3 ⊢ (((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵))
10	8, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))
11	5, 10	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  affinecomb1  47576