Theorem affineequiv4 25095

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv4	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))

Proof of Theorem affineequiv4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv3 25094	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
6	3, 2	subcld 10790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 10452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
8	1, 2, 7	subadd2d 10809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴))
9		eqcom 2779	. . 3 ⊢ (((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵))
10	8, 9	syl6bb 279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))
11	5, 10	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐴 = ((𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332   − cmin 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-ltxr 10471  df-sub 10664  df-neg 10665

This theorem is referenced by:  affinecomb1  43997