MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequivne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequivne 25118
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶 if 𝐵 and 𝐶 are not equal. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
affineequivne.d (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
affineequivne (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))

Proof of Theorem affineequivne
StepHypRef Expression
1 affineequiv.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 affineequiv.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 affineequiv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 affineequiv.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
51, 2, 3, 4affineequiv3 25116 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
6 eqcom 2779 . . 3 (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = 𝐷𝐷 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)))
71, 2subcld 10796 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
83, 2subcld 10796 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
9 affineequivne.d . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
109necomd 3016 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
113, 2, 10subne0d 10805 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
127, 4, 8, 11divmul3d 11249 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = 𝐷 ↔ (𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵))))
136, 12syl5rbbr 278 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐵)) ↔ 𝐷 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
145, 13bitrd 271 1 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  (class class class)co 6974  cc 10331  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338  cmin 10668   / cdiv 11096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097
This theorem is referenced by:  affinecomb1  44082
  Copyright terms: Public domain W3C validator