Theorem affineequivne 26774

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶 if 𝐵 and 𝐶 are not equal. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
affineequivne.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
affineequivne	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequivne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv3 26772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
6	1, 2	subcld 11482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 2	subcld 11482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		affineequivne.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
9	8	necomd 2985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
10	3, 2, 9	subne0d 11491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
11	6, 4, 7, 10	divmul3d 11941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
12		eqcom 2740	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
13	11, 12	bitr3di 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
14	5, 13	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   − cmin 11354   / cdiv 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785

This theorem is referenced by:  affinecomb1  48817