MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequivne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequivne 26746
Description: Equivalence between two ways of expressing ๐ด as an affine combination of ๐ต and ๐ถ if ๐ต and ๐ถ are not equal. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
affineequiv.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
affineequiv.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
affineequiv.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
affineequivne.d (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
affineequivne (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” ๐ท = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))

Proof of Theorem affineequivne
StepHypRef Expression
1 affineequiv.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 affineequiv.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 affineequiv.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 affineequiv.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
51, 2, 3, 4affineequiv3 26744 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
61, 2subcld 11593 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
73, 2subcld 11593 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8 affineequivne.d . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
98necomd 2991 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
103, 2, 9subne0d 11602 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
116, 4, 7, 10divmul3d 12046 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ๐ท โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
12 eqcom 2734 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ๐ท โ†” ๐ท = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
1311, 12bitr3di 286 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐ท = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
145, 13bitrd 279 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐ท) ยท ๐ต) + (๐ท ยท ๐ถ)) โ†” ๐ท = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894
This theorem is referenced by:  affinecomb1  47698
  Copyright terms: Public domain W3C validator