Theorem affineequivne 26899

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶 if 𝐵 and 𝐶 are not equal. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
affineequivne.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
affineequivne	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequivne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv3 26897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
6	1, 2	subcld 11553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 2	subcld 11553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		affineequivne.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
9	8	necomd 3013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
10	3, 2, 9	subne0d 11562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
11	6, 4, 7, 10	divmul3d 12012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
12		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
13	11, 12	bitr3di 288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
14	5, 13	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  1c1 11085   + caddc 11087   · cmul 11089   − cmin 11425   / cdiv 11855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856

This theorem is referenced by:  affinecomb1  49315