Theorem affineequivne 25118

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐴 as an affine combination of 𝐵 and 𝐶 if 𝐵 and 𝐶 are not equal. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
affineequivne.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
affineequivne	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Proof of Theorem affineequivne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		affineequiv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		affineequiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		affineequiv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	affineequiv3 25116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
6		eqcom 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
7	1, 2	subcld 10796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8	3, 2	subcld 10796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		affineequivne.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
10	9	necomd 3016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
11	3, 2, 10	subne0d 10805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
12	7, 4, 8, 11	divmul3d 11249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = 𝐷 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵))))
13	6, 12	syl5rbbr 278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐵)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
14	5, 13	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − 𝐷) · 𝐵) + (𝐷 · 𝐶)) ↔ 𝐷 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   − cmin 10668   / cdiv 11096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097

This theorem is referenced by:  affinecomb1  44082