MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subadd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subadd2d 11532
Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subadd2d (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem subadd2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subadd2 11406 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐶 + 𝐵) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  addeq0  11579  icoshftf1o  13392  iccf1o  13414  modmuladdnn0  13821  hashun3  14285  oddm1even  16226  oexpneg  16228  modremain  16291  hashdvds  16648  psgnunilem5  19277  icopnfcnv  24308  affineequiv4  26179  mcubic  26200  lgsvalmod  26667  2sqmod  26787  colinearalglem2  27859  wlklnwwlkln2lem  28830  eucrct2eupth  29192  ballotlem1c  33110  subfacp1lem1  33776  mblfinlem3  36120  mblfinlem4  36121  itg2addnclem2  36133  aks4d1p1p7  40534  aks4d1p1  40536  fperdvper  44167  fourierdlem19  44374  fmtnorec2lem  45741  fmtnorec4  45748  fmtnoprmfac1lem  45763  fmtnoprmfac1  45764  fmtnoprmfac2  45766  sfprmdvdsmersenne  45802  oexpnegALTV  45876  even3prm2  45918  sbgoldbst  45977  nnsgrpnmnd  46119  blennn0em1  46684  eenglngeehlnmlem1  46830  eenglngeehlnmlem2  46831  itscnhlc0xyqsol  46858  itschlc0xyqsol1  46859
  Copyright terms: Public domain W3C validator