Theorem affinecomb1 46048

Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
affinecomb1.s	⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
affinecomb1	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem affinecomb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		affinecomb1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		affinecomb1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
12		affinecomb1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 𝐶)
14	3, 6, 9, 11, 13	affineequivne 25977	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
15		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
16	15	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹))
17		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))
18	16, 17	oveq12d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
19	18	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
21		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹))
22	1, 4	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23	7, 4	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
24	7	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	4	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	12	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	24, 25, 26	subne0d 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
28	22, 23, 27	redivcld 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
29		affinecomb1.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
30		affinecomb1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℝ)
32	28, 31	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) ∈ ℝ)
33	32, 30	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ)
35	30	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
36	29	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
37	28	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
38	34, 35, 36, 37	affineequiv4 25976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
39	21, 38	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
40	22	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
41	23	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	31	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
43	40, 41, 42, 27	div13d 11775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
44		affinecomb1.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
45	44	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))
46	43, 45	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
47	46	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
48	39, 47	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
50	49	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
51	50	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
53	20, 52	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
54	53	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
55	14, 54	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
56	55	impd 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
57	56	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
58		affinecomb1.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ)
61	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ)
62	36	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ)
63	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
64		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
65	64	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
66	63, 65	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ)
68	60, 61, 62, 67	affineequiv4 25976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
69	15	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵))
70		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
72		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
73	1	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
74	73, 25, 24, 37, 12	affineequivne 25977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
75	72, 74	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
76	75	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴)
77	71, 76	sylan9eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴)
78	77	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)))
79	78	biantrurd 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
80	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
81		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
82	81	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
83	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
84	80, 82, 83	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
85	84	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
86	85	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
87	68, 79, 86	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
88	28, 87	rspcedv 3554	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
89	57, 88	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  affinecomb2  46049  rrx2linesl  46089