Theorem affinecomb1 48697

Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
affinecomb1.s	⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
affinecomb1	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem affinecomb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		affinecomb1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		affinecomb1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
12		affinecomb1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 𝐶)
14	3, 6, 9, 11, 13	affineequivne 26735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
15		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
16	15	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹))
17		oveq1 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))
18	16, 17	oveq12d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
19	18	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
21		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹))
22	1, 4	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23	7, 4	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
24	7	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	4	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	12	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	24, 25, 26	subne0d 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
28	22, 23, 27	redivcld 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
29		affinecomb1.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
30		affinecomb1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 11548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℝ)
32	28, 31	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) ∈ ℝ)
33	32, 30	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ)
35	30	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
36	29	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
37	28	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
38	34, 35, 36, 37	affineequiv4 26734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
39	21, 38	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
40	22	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
41	23	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	31	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
43	40, 41, 42, 27	div13d 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
44		affinecomb1.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
45	44	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))
46	43, 45	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
47	46	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
48	39, 47	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
50	49	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
51	50	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
53	20, 52	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
55	14, 54	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
56	55	impd 410	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
57	56	rexlimdva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
58		affinecomb1.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ)
61	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ)
62	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ)
63	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
64		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
65	64	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ)
68	60, 61, 62, 67	affineequiv4 26734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
69	15	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵))
70		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
72		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
73	1	recnd 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
74	73, 25, 24, 37, 12	affineequivne 26735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
75	72, 74	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
76	75	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴)
77	71, 76	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴)
78	77	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)))
79	78	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
80	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
81		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
82	81	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
83	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
84	80, 82, 83	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
85	84	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
86	85	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
87	68, 79, 86	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
88	28, 87	rspcedv 3570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
89	57, 88	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347   / cdiv 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778

This theorem is referenced by:  affinecomb2  48698  rrx2linesl  48738