Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | affinecomb1.a |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ด โ โ) |
3 | 2 | recnd 11191 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ด โ โ) |
4 | | affinecomb1.b |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ต โ โ) |
6 | 5 | recnd 11191 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ต โ โ) |
7 | | affinecomb1.c |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
9 | 8 | recnd 11191 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ถ โ โ) |
10 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ก โ โ) |
11 | 10 | recnd 11191 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ก โ โ) |
12 | | affinecomb1.d |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ต โ ๐ถ) |
13 | 12 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ๐ต โ ๐ถ) |
14 | 3, 6, 9, 11, 13 | affineequivne 26200 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โ ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)))) |
15 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (1 โ ๐ก) = (1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)))) |
16 | 15 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ ((1 โ ๐ก) ยท ๐น) = ((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น)) |
17 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ก ยท ๐บ) = (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) |
18 | 16, 17 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ))) |
19 | 18 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . 8
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)))) |
20 | 19 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ก โ โ) โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)))) |
21 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น)) |
22 | 1, 4 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) |
23 | 7, 4 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ต) โ โ) |
24 | 7 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
25 | 4 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
26 | 12 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ต) |
27 | 24, 25, 26 | subne0d 11529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ต) โ 0) |
28 | 22, 23, 27 | redivcld 11991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ โ) |
29 | | affinecomb1.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ๐บ โ โ) |
30 | | affinecomb1.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ๐น โ โ) |
31 | 29, 30 | resubcld 11591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (๐บ โ ๐น) โ โ) |
32 | 28, 31 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) โ โ) |
33 | 32, 30 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) โ โ) |
34 | 33 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) โ โ) |
35 | 30 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐น โ โ) |
36 | 29 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐บ โ โ) |
37 | 28 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ โ) |
38 | 34, 35, 36, 37 | affineequiv4 26199 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น))) |
39 | 21, 38 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ))) |
40 | 22 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) |
41 | 23 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ถ โ ๐ต) โ โ) |
42 | 31 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐บ โ ๐น) โ โ) |
43 | 40, 41, 42, 27 | div13d 11963 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) = (((๐บ โ ๐น) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
44 | | affinecomb1.s |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ๐ = ((๐บ โ ๐น) / (๐ถ โ ๐ต)) |
45 | 44 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) = (((๐บ โ ๐น) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต)) |
46 | 43, 45 | eqtr4di 2791 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) = (๐ ยท (๐ด โ ๐ต))) |
47 | 46 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)) |
48 | 39, 47 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)) |
49 | 48 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)) |
50 | 49 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (๐ธ = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
51 | 50 | biimpd 228 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (๐ธ = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
52 | 51 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ก โ โ) โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
53 | 20, 52 | sylbid 239 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ก โ โ) โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
54 | 53 | ex 414 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)))) |
55 | 14, 54 | sylbid 239 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)))) |
56 | 55 | impd 412 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ก โ โ) โ ((๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
57 | 56 | rexlimdva 3149 |
. 2
โข (๐ โ (โ๐ก โ โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
58 | | affinecomb1.e |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
59 | 58 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐ธ โ โ) |
60 | 59 | recnd 11191 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐ธ โ โ) |
61 | 35 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐น โ โ) |
62 | 36 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐บ โ โ) |
63 | 28 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ โ) |
64 | | eleq1 2822 |
. . . . . . . 8
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ก โ โ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ โ)) |
65 | 64 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ก โ โ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ โ)) |
66 | 63, 65 | mpbird 257 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐ก โ โ) |
67 | 66 | recnd 11191 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐ก โ โ) |
68 | 60, 61, 62, 67 | affineequiv4 26199 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ ๐ธ = ((๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น))) |
69 | 15 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . 8
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ ((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) = ((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐ต)) |
70 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . 8
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ก ยท ๐ถ) = (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐ถ)) |
71 | 69, 70 | oveq12d 7379 |
. . . . . . 7
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐ถ))) |
72 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) |
73 | 1 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
74 | 73, 25, 24, 37, 12 | affineequivne 26200 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (๐ด = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐ถ)) โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)))) |
75 | 72, 74 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ด = (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐ถ))) |
76 | 75 | eqcomd 2739 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (((1 โ ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท ๐ถ)) = ๐ด) |
77 | 71, 76 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) = ๐ด) |
78 | 77 | eqcomd 2739 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ))) |
79 | 78 | biantrurd 534 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ)) โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))))) |
80 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น)) = (((๐บ โ ๐น) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
81 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . 8
โข (๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) โ (๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) = (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น))) |
82 | 81 | adantl 483 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) = (((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐บ โ ๐น))) |
83 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) = (((๐บ โ ๐น) / (๐ถ โ ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
84 | 80, 82, 83 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) = (๐ ยท (๐ด โ ๐ต))) |
85 | 84 | oveq1d 7376 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ((๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น)) |
86 | 85 | eqeq2d 2744 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ (๐ธ = ((๐ก ยท (๐บ โ ๐น)) + ๐น) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
87 | 68, 79, 86 | 3bitr3d 309 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ก = ((๐ด โ ๐ต) / (๐ถ โ ๐ต))) โ ((๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |
88 | 28, 87 | rspcedv 3576 |
. 2
โข (๐ โ (๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น) โ โ๐ก โ โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))))) |
89 | 57, 88 | impbid 211 |
1
โข (๐ โ (โ๐ก โ โ (๐ด = (((1 โ ๐ก) ยท ๐ต) + (๐ก ยท ๐ถ)) โง ๐ธ = (((1 โ ๐ก) ยท ๐น) + (๐ก ยท ๐บ))) โ ๐ธ = ((๐ ยท (๐ด โ ๐ต)) + ๐น))) |