Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb1 47388
Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
affinecomb1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
affinecomb1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
affinecomb1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
affinecomb1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
affinecomb1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
affinecomb1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
affinecomb1.s ๐‘† = ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))
Assertion
Ref Expression
affinecomb1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ด   ๐‘ก,๐ต   ๐‘ก,๐ถ   ๐‘ก,๐ธ   ๐‘ก,๐น   ๐œ‘,๐‘ก   ๐‘ก,๐‘†
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘ก)

Proof of Theorem affinecomb1
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 affinecomb1.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 affinecomb1.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
1110recnd 11242 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
12 affinecomb1.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
143, 6, 9, 11, 13affineequivne 26332 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
15 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
1615oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) = ((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น))
17 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท ๐บ) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))
1816, 17oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))))
2019adantl 483 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))))
21 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น))
221, 4resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
237, 4resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
247recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
254recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2612necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
2724, 25, 26subne0d 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
2822, 23, 27redivcld 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
29 affinecomb1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
30 affinecomb1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
3129, 30resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ ๐น) โˆˆ โ„)
3228, 31remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) โˆˆ โ„)
3332, 30readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โˆˆ โ„)
3433recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โˆˆ โ„‚)
3530recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
3629recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
3728recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3834, 35, 36, 37affineequiv4 26331 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†” ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น)))
3921, 38mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)))
4022recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4123recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4231recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ ๐น) โˆˆ โ„‚)
4340, 41, 42, 27div13d 12014 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
44 affinecomb1.s . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))
4544oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))
4643, 45eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4746oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
4839, 47eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
4948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
5049eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5150biimpd 228 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5251adantr 482 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5320, 52sylbid 239 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5453ex 414 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))))
5514, 54sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))))
5655impd 412 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5756rexlimdva 3156 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
58 affinecomb1.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
5958adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
6059recnd 11242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6135adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
6236adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
6328adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
64 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„))
6564adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„))
6663, 65mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6766recnd 11242 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
6860, 61, 62, 67affineequiv4 26331 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น)))
6915oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) = ((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต))
70 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท ๐ถ) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ))
7169, 70oveq12d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)))
72 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
731recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7473, 25, 24, 37, 12affineequivne 26332 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
7572, 74mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)))
7675eqcomd 2739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)) = ๐ด)
7771, 76sylan9eqr 2795 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) = ๐ด)
7877eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)))
7978biantrurd 534 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)))))
8043adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
81 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)))
8281adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)))
8345a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
8480, 82, 833eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
8584oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
8685eqeq2d 2744 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
8768, 79, 863bitr3d 309 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
8828, 87rspcedv 3606 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)))))
8957, 88impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872
This theorem is referenced by:  affinecomb2  47389  rrx2linesl  47429
  Copyright terms: Public domain W3C validator