Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb1 47475
Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
affinecomb1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
affinecomb1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
affinecomb1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
affinecomb1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
affinecomb1.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
affinecomb1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
affinecomb1.s ๐‘† = ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))
Assertion
Ref Expression
affinecomb1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ด   ๐‘ก,๐ต   ๐‘ก,๐ถ   ๐‘ก,๐ธ   ๐‘ก,๐น   ๐œ‘,๐‘ก   ๐‘ก,๐‘†
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘ก)

Proof of Theorem affinecomb1
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 affinecomb1.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 affinecomb1.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
98recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
10 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
12 affinecomb1.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
1312adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ถ)
143, 6, 9, 11, 13affineequivne 26568 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โ†” ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
15 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
1615oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) = ((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น))
17 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท ๐บ) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))
1816, 17oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)))
1918eqeq2d 2741 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))))
2019adantl 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ))))
21 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น))
221, 4resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
237, 4resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
247recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
254recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2612necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  ๐ต)
2724, 25, 26subne0d 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
2822, 23, 27redivcld 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
29 affinecomb1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„)
30 affinecomb1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
3129, 30resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ ๐น) โˆˆ โ„)
3228, 31remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) โˆˆ โ„)
3332, 30readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โˆˆ โ„)
3433recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โˆˆ โ„‚)
3530recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
3629recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
3728recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3834, 35, 36, 37affineequiv4 26567 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†” ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น)))
3921, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)))
4022recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4123recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4231recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆ’ ๐น) โˆˆ โ„‚)
4340, 41, 42, 27div13d 12018 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
44 affinecomb1.s . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘† = ((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))
4544oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))
4643, 45eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4746oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
4839, 47eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
4948adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
5049eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5150biimpd 228 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5251adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐น) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5320, 52sylbid 239 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5453ex 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))))
5514, 54sylbid 239 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))))
5655impd 409 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
5756rexlimdva 3153 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†’ ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
58 affinecomb1.e . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
5958adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
6059recnd 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6135adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
6236adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
6328adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
64 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„))
6564adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„))
6663, 65mpbird 256 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
6766recnd 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
6860, 61, 62, 67affineequiv4 26567 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” ๐ธ = ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น)))
6915oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) = ((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต))
70 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท ๐ถ) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ))
7169, 70oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)))
72 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
731recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7473, 25, 24, 37, 12affineequivne 26568 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))))
7572, 74mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)))
7675eqcomd 2736 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) ยท ๐ต) + (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท ๐ถ)) = ๐ด)
7771, 76sylan9eqr 2792 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) = ๐ด)
7877eqcomd 2736 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)))
7978biantrurd 531 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)) โ†” (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)))))
8043adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
81 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)))
8281adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐บ โˆ’ ๐น)))
8345a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐บ โˆ’ ๐น) / (๐ถ โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
8480, 82, 833eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) = (๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
8584oveq1d 7426 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น))
8685eqeq2d 2741 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ (๐ธ = ((๐‘ก ยท (๐บ โˆ’ ๐น)) + ๐น) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
8768, 79, 863bitr3d 308 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก = ((๐ด โˆ’ ๐ต) / (๐ถ โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
8828, 87rspcedv 3604 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ)))))
8957, 88impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ (๐ด = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐ต) + (๐‘ก ยท ๐ถ)) โˆง ๐ธ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐น) + (๐‘ก ยท ๐บ))) โ†” ๐ธ = ((๐‘† ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) + ๐น)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by:  affinecomb2  47476  rrx2linesl  47516
  Copyright terms: Public domain W3C validator