Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb1 45055
 Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d (𝜑𝐵𝐶)
affinecomb1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
affinecomb1.s 𝑆 = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
Assertion
Ref Expression
affinecomb1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem affinecomb1
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 affinecomb1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 affinecomb1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
98recnd 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
1110recnd 10658 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
12 affinecomb1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶)
143, 6, 9, 11, 13affineequivne 25411 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
15 oveq2 7148 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
1615oveq1d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹))
17 oveq1 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))
1816, 17oveq12d 7158 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)))
1918eqeq2d 2833 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))))
2019adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))))
21 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹))
221, 4resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
237, 4resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
247recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
254recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2612necomd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶𝐵)
2724, 25, 26subne0d 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
2822, 23, 27redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
29 affinecomb1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
30 affinecomb1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
3129, 30resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℝ)
3228, 31remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) ∈ ℝ)
3332, 30readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ)
3433recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ)
3530recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
3629recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3728recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
3834, 35, 36, 37affineequiv4 25410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹)))
3921, 38mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)))
4022recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4123recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4231recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℂ)
4340, 41, 42, 27div13d 11429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
44 affinecomb1.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
4544oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))
4643, 45eqtr4di 2875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (𝑆 · (𝐴𝐵)))
4746oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
4839, 47eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
4948adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
5049eqeq2d 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5150biimpd 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5251adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5320, 52sylbid 243 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5453ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))))
5514, 54sylbid 243 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))))
5655impd 414 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5756rexlimdva 3270 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
58 affinecomb1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5958adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ)
6059recnd 10658 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ)
6135adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ)
6236adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ)
6328adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
64 eleq1 2901 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ))
6564adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ))
6663, 65mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6766recnd 10658 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ)
6860, 61, 62, 67affineequiv4 25410 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹)))
6915oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵))
70 oveq1 7147 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶))
7169, 70oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)))
72 eqidd 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)))
731recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7473, 25, 24, 37, 12affineequivne 25411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
7572, 74mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)))
7675eqcomd 2828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴)
7771, 76sylan9eqr 2879 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴)
7877eqcomd 2828 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)))
7978biantrurd 536 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
8043adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
81 oveq1 7147 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)))
8281adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)))
8345a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑆 · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
8480, 82, 833eqtr4d 2867 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (𝑆 · (𝐴𝐵)))
8584oveq1d 7155 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
8685eqeq2d 2833 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
8768, 79, 863bitr3d 312 . . 3 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
8828, 87rspcedv 3591 . 2 (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
8957, 88impbid 215 1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∃wrex 3131  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287 This theorem is referenced by:  affinecomb2  45056  rrx2linesl  45096
 Copyright terms: Public domain W3C validator