Proof of Theorem affinecomb1
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | affinecomb1.a | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 2 | 1 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | recnd 11290 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 4 |  | affinecomb1.b | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 5 | 4 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 6 | 5 | recnd 11290 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 7 |  | affinecomb1.c | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ) | 
| 9 | 8 | recnd 11290 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 10 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) | 
| 11 | 10 | recnd 11290 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) | 
| 12 |  | affinecomb1.d | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) | 
| 13 | 12 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 𝐶) | 
| 14 | 3, 6, 9, 11, 13 | affineequivne 26871 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))) | 
| 15 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))) | 
| 16 | 15 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹)) | 
| 17 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) | 
| 18 | 16, 17 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))) | 
| 19 | 18 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))) | 
| 20 | 19 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))) | 
| 21 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)) | 
| 22 | 1, 4 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 23 | 7, 4 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 24 | 7 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 25 | 4 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 26 | 12 | necomd 2995 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵) | 
| 27 | 24, 25, 26 | subne0d 11630 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0) | 
| 28 | 22, 23, 27 | redivcld 12096 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 29 |  | affinecomb1.g | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ) | 
| 30 |  | affinecomb1.f | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ) | 
| 31 | 29, 30 | resubcld 11692 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℝ) | 
| 32 | 28, 31 | remulcld 11292 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) ∈ ℝ) | 
| 33 | 32, 30 | readdcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ) | 
| 34 | 33 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ) | 
| 35 | 30 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) | 
| 36 | 29 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) | 
| 37 | 28 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ) | 
| 38 | 34, 35, 36, 37 | affineequiv4 26870 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹))) | 
| 39 | 21, 38 | mpbird 257 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))) | 
| 40 | 22 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) | 
| 41 | 23 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) | 
| 42 | 31 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ) | 
| 43 | 40, 41, 42, 27 | div13d 12068 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) | 
| 44 |  | affinecomb1.s | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) | 
| 45 | 44 | oveq1i 7442 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) | 
| 46 | 43, 45 | eqtr4di 2794 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵))) | 
| 47 | 46 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) | 
| 48 | 39, 47 | eqtr3d 2778 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) | 
| 49 | 48 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) | 
| 50 | 49 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 51 | 50 | biimpd 229 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 52 | 51 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 53 | 20, 52 | sylbid 240 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 54 | 53 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))) | 
| 55 | 14, 54 | sylbid 240 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))) | 
| 56 | 55 | impd 410 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 57 | 56 | rexlimdva 3154 | . 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 58 |  | affinecomb1.e | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) | 
| 59 | 58 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ) | 
| 60 | 59 | recnd 11290 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ) | 
| 61 | 35 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ) | 
| 62 | 36 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ) | 
| 63 | 28 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 64 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)) | 
| 65 | 64 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)) | 
| 66 | 63, 65 | mpbird 257 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ) | 
| 67 | 66 | recnd 11290 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ) | 
| 68 | 60, 61, 62, 67 | affineequiv4 26870 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹))) | 
| 69 | 15 | oveq1d 7447 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵)) | 
| 70 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) | 
| 71 | 69, 70 | oveq12d 7450 | . . . . . . 7
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶))) | 
| 72 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) | 
| 73 | 1 | recnd 11290 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 74 | 73, 25, 24, 37, 12 | affineequivne 26871 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))) | 
| 75 | 72, 74 | mpbird 257 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶))) | 
| 76 | 75 | eqcomd 2742 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴) | 
| 77 | 71, 76 | sylan9eqr 2798 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴) | 
| 78 | 77 | eqcomd 2742 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶))) | 
| 79 | 78 | biantrurd 532 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))))) | 
| 80 | 43 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) | 
| 81 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹))) | 
| 82 | 81 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹))) | 
| 83 | 45 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) | 
| 84 | 80, 82, 83 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵))) | 
| 85 | 84 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)) | 
| 86 | 85 | eqeq2d 2747 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 87 | 68, 79, 86 | 3bitr3d 309 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) | 
| 88 | 28, 87 | rspcedv 3614 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))))) | 
| 89 | 57, 88 | impbid 212 | 1
⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))) |