Theorem affinecomb1 46778

Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
affinecomb1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
affinecomb1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
affinecomb1.s	⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
affinecomb1	⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑆

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem affinecomb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affinecomb1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		affinecomb1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		affinecomb1.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
12		affinecomb1.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 𝐶)
14	3, 6, 9, 11, 13	affineequivne 26177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
15		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
16	15	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹))
17		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))
18	16, 17	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
19	18	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺))))
21		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹))
22	1, 4	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23	7, 4	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
24	7	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
25	4	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	12	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵)
27	24, 25, 26	subne0d 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0)
28	22, 23, 27	redivcld 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
29		affinecomb1.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
30		affinecomb1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ)
31	29, 30	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℝ)
32	28, 31	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) ∈ ℝ)
33	32, 30	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ)
35	30	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
36	29	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
37	28	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℂ)
38	34, 35, 36, 37	affineequiv4 26176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
39	21, 38	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)))
40	22	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
41	23	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	31	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐹) ∈ ℂ)
43	40, 41, 42, 27	div13d 11955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
44		affinecomb1.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = ((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵))
45	44	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))
46	43, 45	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
47	46	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
48	39, 47	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
50	49	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
51	50	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
53	20, 52	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
54	53	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
55	14, 54	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))))
56	55	impd 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
57	56	rexlimdva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
58		affinecomb1.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
59	58	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ)
61	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ)
62	36	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ)
63	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ)
64		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
65	64	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) ∈ ℝ))
66	63, 65	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ)
68	60, 61, 62, 67	affineequiv4 26176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹)))
69	15	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵))
70		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
72		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)))
73	1	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
74	73, 25, 24, 37, 12	affineequivne 26177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))))
75	72, 74	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)))
76	75	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 − ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴)
77	71, 76	sylan9eqr 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴)
78	77	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)))
79	78	biantrurd 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
80	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
81		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
82	81	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐺 − 𝐹)))
83	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐺 − 𝐹) / (𝐶 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
84	80, 82, 83	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) = (𝑆 · (𝐴 − 𝐵)))
85	84	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹))
86	85	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺 − 𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
87	68, 79, 86	3bitr3d 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))
88	28, 87	rspcedv 3574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
89	57, 88	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴 − 𝐵)) + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385   / cdiv 11812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813

This theorem is referenced by:  affinecomb2  46779  rrx2linesl  46819