Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  affinecomb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affinecomb1 48628
Description: Combination of two real affine combinations, one class variable resolved. (Contributed by AV, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
affinecomb1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
affinecomb1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
affinecomb1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
affinecomb1.d (𝜑𝐵𝐶)
affinecomb1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
affinecomb1.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
affinecomb1.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
affinecomb1.s 𝑆 = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
Assertion
Ref Expression
affinecomb1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐶   𝑡,𝐸   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem affinecomb1
StepHypRef Expression
1 affinecomb1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 affinecomb1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 affinecomb1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
98recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
10 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
1110recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
12 affinecomb1.d . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶)
143, 6, 9, 11, 13affineequivne 26871 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ↔ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
15 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (1 − 𝑡) = (1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
1615oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐹) = ((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹))
17 oveq1 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · 𝐺) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))
1816, 17oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)))
1918eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))))
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺))))
21 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹))
221, 4resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
237, 4resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
247recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
254recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2612necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶𝐵)
2724, 25, 26subne0d 11630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
2822, 23, 27redivcld 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
29 affinecomb1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
30 affinecomb1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ ℝ)
3129, 30resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℝ)
3228, 31remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) ∈ ℝ)
3332, 30readdcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ∈ ℝ)
3433recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ∈ ℂ)
3530recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
3629recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3728recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℂ)
3834, 35, 36, 37affineequiv4 26870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) ↔ ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹)))
3921, 38mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)))
4022recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4123recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
4231recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ℂ)
4340, 41, 42, 27div13d 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
44 affinecomb1.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = ((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵))
4544oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵))
4643, 45eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (𝑆 · (𝐴𝐵)))
4746oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
4839, 47eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
5049eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5150biimpd 229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5251adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐹) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5320, 52sylbid 240 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5453ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))))
5514, 54sylbid 240 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))))
5655impd 410 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
5756rexlimdva 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) → 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
58 affinecomb1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐸 ∈ ℝ)
6059recnd 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐸 ∈ ℂ)
6135adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐹 ∈ ℂ)
6236adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐺 ∈ ℂ)
6328adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ)
64 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ))
6564adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) ∈ ℝ))
6663, 65mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝑡 ∈ ℝ)
6766recnd 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝑡 ∈ ℂ)
6860, 61, 62, 67affineequiv4 26870 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ 𝐸 = ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹)))
6915oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → ((1 − 𝑡) · 𝐵) = ((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵))
70 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · 𝐶) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶))
7169, 70oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)))
72 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)))
731recnd 11290 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7473, 25, 24, 37, 12affineequivne 26871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)) ↔ ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))))
7572, 74mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)))
7675eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 − ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) · 𝐵) + (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · 𝐶)) = 𝐴)
7771, 76sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) = 𝐴)
7877eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → 𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)))
7978biantrurd 532 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)) ↔ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
8043adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
81 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)))
8281adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵)) · (𝐺𝐹)))
8345a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑆 · (𝐴𝐵)) = (((𝐺𝐹) / (𝐶𝐵)) · (𝐴𝐵)))
8480, 82, 833eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝑡 · (𝐺𝐹)) = (𝑆 · (𝐴𝐵)))
8584oveq1d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹) = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹))
8685eqeq2d 2747 . . . 4 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → (𝐸 = ((𝑡 · (𝐺𝐹)) + 𝐹) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
8768, 79, 863bitr3d 309 . . 3 ((𝜑𝑡 = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐵))) → ((𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
8828, 87rspcedv 3614 . 2 (𝜑 → (𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺)))))
8957, 88impbid 212 1 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝐴 = (((1 − 𝑡) · 𝐵) + (𝑡 · 𝐶)) ∧ 𝐸 = (((1 − 𝑡) · 𝐹) + (𝑡 · 𝐺))) ↔ 𝐸 = ((𝑆 · (𝐴𝐵)) + 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922
This theorem is referenced by:  affinecomb2  48629  rrx2linesl  48669
  Copyright terms: Public domain W3C validator