Theorem trlnidatb 39134

Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 39130? Why do both this and ltrnideq 39132 need trlnidat 39130? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlnidatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnidatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlnidatb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		trlnidatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		trlnidatb.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlnidatb.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlnidatb.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	trlnidat 39130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
7	6	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
8		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	8, 2, 3	lhpexnle 38963	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
11	1, 8, 2, 3, 4	ltrnideq 39132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
12	11	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
13		simp1l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
17		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
18	8, 17, 2, 3, 4, 5	trl0 39127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
19	13, 14, 15, 16, 18	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
20	19	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
21		simplll 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22		hlatl 38316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
23	17, 2	atn0 38264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
24	23	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
26	25	necon2bd 2956	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	20, 26	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	12, 27	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	10, 28	rexlimddv 3161	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
30	29	necon2ad 2955	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
31	7, 30	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148   I cid 5573   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  0.cp0 18378  Atomscatm 38219  AtLatcal 38220  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116

This theorem is referenced by:  trlid0b  39135  cdlemfnid  39521  trlconid  39682  dih1dimb2  40198