Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidatb 35985
Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 35981? Why do both this and ltrnideq 35983 need trlnidat 35981? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnidatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidatb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 trlnidatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 trlnidatb.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlnidatb.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlnidatb.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidat 35981 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
763expia 1114 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
8 eqid 2771 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
98, 2, 3lhpexnle 35813 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
109adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
111, 8, 2, 3, 4ltrnideq 35983 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
12113expa 1111 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
13 simp1l 1239 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15 simp1r 1240 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
16 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
17 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
188, 17, 2, 3, 4, 5trl0 35978 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1913, 14, 15, 16, 18syl112anc 1480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
20193expia 1114 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
21 simplll 758 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22 hlatl 35167 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2317, 2atn0 35115 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
2423ex 397 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2521, 22, 243syl 18 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2625necon2bd 2959 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2720, 26syld 47 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2812, 27sylbid 230 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2910, 28rexlimddv 3183 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
3029necon2ad 2958 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
317, 30impbid 202 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4787   I cid 5157  cres 5252  cfv 6030  Basecbs 16064  lecple 16156  0.cp0 17245  Atomscatm 35070  AtLatcal 35071  HLchlt 35157  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967
This theorem is referenced by:  trlid0b  35986  cdlemfnid  36372  trlconid  36533  dih1dimb2  37049
  Copyright terms: Public domain W3C validator