Theorem trlnidatb 38496

Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 38492? Why do both this and ltrnideq 38494 need trlnidat 38492? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlnidatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnidatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlnidatb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		trlnidatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		trlnidatb.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlnidatb.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlnidatb.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	trlnidat 38492	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
7	6	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	8, 2, 3	lhpexnle 38325	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10	9	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
11	1, 8, 2, 3, 4	ltrnideq 38494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
12	11	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
13		simp1l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
18	8, 17, 2, 3, 4, 5	trl0 38489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
19	13, 14, 15, 16, 18	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
20	19	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
21		simplll 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22		hlatl 37678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
23	17, 2	atn0 37626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
24	23	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
26	25	necon2bd 2957	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	20, 26	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	12, 27	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	10, 28	rexlimddv 3156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
30	29	necon2ad 2956	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
31	7, 30	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5100   I cid 5524   ↾ cres 5629  ‘cfv 6488  Basecbs 17014  lecple 17071  0.cp0 18243  Atomscatm 37581  AtLatcal 37582  HLchlt 37668  LHypclh 38303  LTrncltrn 38420  trLctrl 38477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8697  df-proset 18115  df-poset 18133  df-plt 18150  df-lub 18166  df-glb 18167  df-join 18168  df-meet 18169  df-p0 18245  df-p1 18246  df-lat 18252  df-clat 18319  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-lhyp 38307  df-laut 38308  df-ldil 38423  df-ltrn 38424  df-trl 38478

This theorem is referenced by:  trlid0b  38497  cdlemfnid  38883  trlconid  39044  dih1dimb2  39560