Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidatb 37472
Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 37468? Why do both this and ltrnideq 37470 need trlnidat 37468? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnidatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidatb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 trlnidatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 trlnidatb.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlnidatb.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlnidatb.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidat 37468 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
763expia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
8 eqid 2801 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
98, 2, 3lhpexnle 37301 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
109adantr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
111, 8, 2, 3, 4ltrnideq 37470 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
12113expa 1115 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
13 simp1l 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15 simp1r 1195 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
16 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
17 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
188, 17, 2, 3, 4, 5trl0 37465 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1913, 14, 15, 16, 18syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
20193expia 1118 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
21 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22 hlatl 36655 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2317, 2atn0 36603 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
2423ex 416 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2521, 22, 243syl 18 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2625necon2bd 3006 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2720, 26syld 47 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2812, 27sylbid 243 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2910, 28rexlimddv 3253 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
3029necon2ad 3005 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
317, 30impbid 215 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110   class class class wbr 5033   I cid 5427  cres 5525  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  0.cp0 17643  Atomscatm 36558  AtLatcal 36559  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  trLctrl 37453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454
This theorem is referenced by:  trlid0b  37473  cdlemfnid  37859  trlconid  38020  dih1dimb2  38536
  Copyright terms: Public domain W3C validator