Theorem trlnidatb 38191

Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 38187? Why do both this and ltrnideq 38189 need trlnidat 38187? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlnidatb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnidatb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlnidatb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		trlnidatb.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		trlnidatb.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlnidatb.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		trlnidatb.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	trlnidat 38187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
7	6	3expia 1120	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
9	8, 2, 3	lhpexnle 38020	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
11	1, 8, 2, 3, 4	ltrnideq 38189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
12	11	3expa 1117	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑝) = 𝑝))
13		simp1l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15		simp1r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝑇)
16		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 𝑝)
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
18	8, 17, 2, 3, 4, 5	trl0 38184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
19	13, 14, 15, 16, 18	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹‘𝑝) = 𝑝) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
20	19	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
21		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22		hlatl 37374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
23	17, 2	atn0 37322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
24	23	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
25	21, 22, 24	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
26	25	necon2bd 2959	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
27	20, 26	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹‘𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
28	12, 27	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
29	10, 28	rexlimddv 3220	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
30	29	necon2ad 2958	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
31	7, 30	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  0.cp0 18141  Atomscatm 37277  AtLatcal 37278  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  trlid0b  38192  cdlemfnid  38578  trlconid  38739  dih1dimb2  39255