Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2atnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2atnle 39732
Description: Inequality for 2 different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2atnle.l = (le‘𝐾)
lhp2atnle.j = (join‘𝐾)
lhp2atnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2atnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2atnle ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))

Proof of Theorem lhp2atnle
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 39058 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp3l 1198 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
5 eqid 2726 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 lhp2atnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atn0 39006 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
83, 4, 7syl2anc 582 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
91hllatd 39062 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 6atbase 38987 . . . . . 6 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
124, 11syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃𝐴)
14 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈𝐴)
15 lhp2atnle.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
1610, 15, 6hlatjcl 39065 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
171, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2atnle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
2010, 18, 19latleeqm2 18493 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
219, 12, 17, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
22 lhp2atnle.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2318, 15, 19, 5, 6, 22lhp2at0 39731 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾))
24 eqeq1 2730 . . . . 5 (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉 → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2523, 24syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉𝑉 = (0.‘𝐾)))
2621, 25sylbid 239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) → 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2726necon3ad 2943 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈)))
288, 27mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  meetcmee 18337  0.cp0 18448  Latclat 18456  Atomscatm 38961  AtLatcal 38962  HLchlt 39048  LHypclh 39683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687
This theorem is referenced by:  lhp2atne  39733  lhp2at0nle  39734  cdlemg27a  40391  cdlemg31c  40398  cdlemh  40516  cdlemk12  40549  cdlemk12u  40571
  Copyright terms: Public domain W3C validator