Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2atnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2atnle 38434
Description: Inequality for 2 different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2atnle.l = (le‘𝐾)
lhp2atnle.j = (join‘𝐾)
lhp2atnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2atnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2atnle ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))

Proof of Theorem lhp2atnle
StepHypRef Expression
1 simp11l 1284 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 37760 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp3l 1201 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
5 eqid 2737 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 lhp2atnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atn0 37708 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
83, 4, 7syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
91hllatd 37764 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 6atbase 37689 . . . . . 6 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
124, 11syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp12l 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃𝐴)
14 simp2l 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈𝐴)
15 lhp2atnle.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
1610, 15, 6hlatjcl 37767 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
171, 13, 14, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2atnle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
2010, 18, 19latleeqm2 18317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
219, 12, 17, 20syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
22 lhp2atnle.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2318, 15, 19, 5, 6, 22lhp2at0 38433 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾))
24 eqeq1 2741 . . . . 5 (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉 → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2523, 24syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉𝑉 = (0.‘𝐾)))
2621, 25sylbid 239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) → 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2726necon3ad 2954 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈)))
288, 27mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  lecple 17100  joincjn 18160  meetcmee 18161  0.cp0 18272  Latclat 18280  Atomscatm 37663  AtLatcal 37664  HLchlt 37750  LHypclh 38385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-lat 18281  df-clat 18348  df-oposet 37576  df-ol 37578  df-oml 37579  df-covers 37666  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-psubsp 37904  df-pmap 37905  df-padd 38197  df-lhyp 38389
This theorem is referenced by:  lhp2atne  38435  lhp2at0nle  38436  cdlemg27a  39093  cdlemg31c  39100  cdlemh  39218  cdlemk12  39251  cdlemk12u  39273
  Copyright terms: Public domain W3C validator