Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2atnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2atnle 37329
 Description: Inequality for 2 different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2atnle.l = (le‘𝐾)
lhp2atnle.j = (join‘𝐾)
lhp2atnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2atnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2atnle ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))

Proof of Theorem lhp2atnle
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 36656 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp3l 1198 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
5 eqid 2798 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 lhp2atnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atn0 36604 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑉𝐴) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
83, 4, 7syl2anc 587 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ≠ (0.‘𝐾))
91hllatd 36660 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 6atbase 36585 . . . . . 6 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
124, 11syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp12l 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃𝐴)
14 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈𝐴)
15 lhp2atnle.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
1610, 15, 6hlatjcl 36663 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
171, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2atnle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
19 eqid 2798 . . . . . 6 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
2010, 18, 19latleeqm2 17682 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
219, 12, 17, 20syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) ↔ ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉))
22 lhp2atnle.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2318, 15, 19, 5, 6, 22lhp2at0 37328 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾))
24 eqeq1 2802 . . . . 5 (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉 → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2523, 24syl5ibcom 248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (((𝑃 𝑈)(meet‘𝐾)𝑉) = 𝑉𝑉 = (0.‘𝐾)))
2621, 25sylbid 243 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 (𝑃 𝑈) → 𝑉 = (0.‘𝐾)))
2726necon3ad 3000 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 ≠ (0.‘𝐾) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈)))
288, 27mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647  Atomscatm 36559  AtLatcal 36560  HLchlt 36646  LHypclh 37280 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284 This theorem is referenced by:  lhp2atne  37330  lhp2at0nle  37331  cdlemg27a  37988  cdlemg31c  37995  cdlemh  38113  cdlemk12  38146  cdlemk12u  38168
 Copyright terms: Public domain W3C validator