Theorem trlatn0 37302

Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trl0a.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlatn0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))

Proof of Theorem trlatn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 36490	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		trl0a.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		trl0a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atn0 36438	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
6	2, 5	sylancom 590	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
7	6	ex 415	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
8		trl0a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		trl0a.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trl0a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 4, 8, 9, 10	trlator0 37301	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))
12	11	ord 860	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) = 0 ))
13	12	necon1ad 3033	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
14	7, 13	impbid 214	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6349  0.cp0 17641  Atomscatm 36393  AtLatcal 36394  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  trLctrl 37288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289

This theorem is referenced by:  trlid0b  37308  cdlemg12e  37777  trlcoat  37853