Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlatn0 39038
Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.β€˜πΎ)
trl0a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trl0a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trl0a.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlatn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))

Proof of Theorem trlatn0
StepHypRef Expression
1 hlatl 38225 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
21ad3antrrr 728 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3 trl0a.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
4 trl0a.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atn0 38173 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
62, 5sylancom 588 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
76ex 413 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
8 trl0a.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trl0a.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trl0a.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
113, 4, 8, 9, 10trlator0 39037 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
1211ord 862 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
1312necon1ad 2957 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  0 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
147, 13impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  0.cp0 18375  Atomscatm 38128  AtLatcal 38129  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  trlid0b  39044  cdlemg12e  39513  trlcoat  39589
  Copyright terms: Public domain W3C validator