Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlatn0 38638
Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.β€˜πΎ)
trl0a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trl0a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trl0a.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlatn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))

Proof of Theorem trlatn0
StepHypRef Expression
1 hlatl 37825 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
21ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
3 trl0a.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
4 trl0a.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4atn0 37773 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
62, 5sylancom 589 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 )
76ex 414 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
8 trl0a.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trl0a.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trl0a.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
113, 4, 8, 9, 10trlator0 38637 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∨ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
1211ord 863 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘…β€˜πΉ) = 0 ))
1312necon1ad 2961 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  0 β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
147, 13impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜πΉ) β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  β€˜cfv 6497  0.cp0 18313  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  trlid0b  38644  cdlemg12e  39113  trlcoat  39189
  Copyright terms: Public domain W3C validator