Theorem trlatn0 40618

Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trl0a.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlatn0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))

Proof of Theorem trlatn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39806	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		trl0a.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		trl0a.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	3, 4	atn0 39754	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
6	2, 5	sylancom 589	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 )
7	6	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))
8		trl0a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		trl0a.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trl0a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	3, 4, 8, 9, 10	trlator0 40617	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅‘𝐹) = 0 ))
12	11	ord 865	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (¬ (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅‘𝐹) = 0 ))
13	12	necon1ad 2949	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ≠ 0 → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
14	7, 13	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘𝐹) ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  0.cp0 18387  Atomscatm 39709  AtLatcal 39710  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547  trLctrl 40604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605

This theorem is referenced by:  trlid0b  40624  cdlemg12e  41093  trlcoat  41169