Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlatn0 37175
Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlatn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))

Proof of Theorem trlatn0
StepHypRef Expression
1 hlatl 36363 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21ad3antrrr 726 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 trl0a.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 trl0a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atn0 36311 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
62, 5sylancom 588 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
76ex 413 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
8 trl0a.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 trl0a.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trl0a.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
113, 4, 8, 9, 10trlator0 37174 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))
1211ord 860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) = 0 ))
1312necon1ad 3037 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
147, 13impbid 213 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  cfv 6351  0.cp0 17639  Atomscatm 36266  AtLatcal 36267  HLchlt 36353  LHypclh 36987  LTrncltrn 37104  trLctrl 37161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-map 8401  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162
This theorem is referenced by:  trlid0b  37181  cdlemg12e  37650  trlcoat  37726
  Copyright terms: Public domain W3C validator