Theorem brsigarn 30853

Description: The Borel Algebra is a sigma-algebra on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsigarn	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem brsigarn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6461	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
2		sigagensiga 30810	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
4		df-brsiga 30851	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5		uniretop 22985	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
6	5	fveq2i 6451	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) = (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
7	3, 4, 6	3eltr4i 2872	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∪ cuni 4673  ran crn 5358  ‘cfv 6137  ℝcr 10273  (,)cioo 12492  topGenctg 16495  sigAlgebracsiga 30776  sigaGencsigagen 30807  𝔅_ℝcbrsiga 30850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-ioo 12496  df-topgen 16501  df-bases 21169  df-siga 30777  df-sigagen 30808  df-brsiga 30851

This theorem is referenced by:  brsigasspwrn  30854  mbfmvolf  30934  elmbfmvol2  30935  mbfmcnt  30936  br2base  30937  dya2iocbrsiga  30943  dya2icobrsiga  30944  sxbrsigalem5  30956  sxbrsiga  30958  isrrvv  31112  rrvadd  31121  rrvmulc  31122  dstrvprob  31140