Theorem brsigarn 34341

Description: The Borel Algebra is a sigma-algebra on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsigarn	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem brsigarn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6847	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
2		sigagensiga 34298	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
4		df-brsiga 34339	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5		uniretop 24706	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
6	5	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) = (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
7	3, 4, 6	3eltr4i 2849	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∪ cuni 4863  ran crn 5625  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  (,)cioo 13261  topGenctg 17357  sigAlgebracsiga 34265  sigaGencsigagen 34295  𝔅_ℝcbrsiga 34338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265  df-topgen 17363  df-bases 22890  df-siga 34266  df-sigagen 34296  df-brsiga 34339

This theorem is referenced by:  brsigasspwrn  34342  mbfmvolf  34423  elmbfmvol2  34424  mbfmcnt  34425  br2base  34426  dya2iocbrsiga  34432  dya2icobrsiga  34433  sxbrsigalem5  34445  sxbrsiga  34447  isrrvv  34600  rrvadd  34609  rrvmulc  34610  dstrvprob  34629