Theorem brsigarn 34192

Description: The Borel Algebra is a sigma-algebra on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsigarn	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem brsigarn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
2		sigagensiga 34149	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
4		df-brsiga 34190	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5		uniretop 24675	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
6	5	fveq2i 6825	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) = (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
7	3, 4, 6	3eltr4i 2844	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∪ cuni 4859  ran crn 5617  ‘cfv 6481  ℝcr 11002  (,)cioo 13242  topGenctg 17338  sigAlgebracsiga 34116  sigaGencsigagen 34146  𝔅_ℝcbrsiga 34189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-ioo 13246  df-topgen 17344  df-bases 22859  df-siga 34117  df-sigagen 34147  df-brsiga 34190

This theorem is referenced by:  brsigasspwrn  34193  mbfmvolf  34274  elmbfmvol2  34275  mbfmcnt  34276  br2base  34277  dya2iocbrsiga  34283  dya2icobrsiga  34284  sxbrsigalem5  34296  sxbrsiga  34298  isrrvv  34451  rrvadd  34460  rrvmulc  34461  dstrvprob  34480