Theorem brsigarn 34605

Description: The Borel Algebra is a sigma-algebra on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsigarn	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem brsigarn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6901	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
2		sigagensiga 34562	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
4		df-brsiga 34603	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5		uniretop 24956	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
6	5	fveq2i 6891	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) = (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
7	3, 4, 6	3eltr4i 2879	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ∪ cuni 4877  ran crn 5667  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  (,)cioo 13390  topGenctg 17515  sigAlgebracsiga 34529  sigaGencsigagen 34559  𝔅_ℝcbrsiga 34602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394  df-topgen 17521  df-bases 23140  df-siga 34530  df-sigagen 34560  df-brsiga 34603

This theorem is used by:  brsigasspwrn  34606  mbfmvolf  34687  elmbfmvol2  34688  mbfmcnt  34689  br2base  34690  dya2iocbrsiga  34696  dya2icobrsiga  34697  sxbrsigalem5  34709  sxbrsiga  34711  isrrvv  34864  rrvadd  34873  rrvmulc  34874  dstrvprob  34893