Theorem brsigarn 31445

Description: The Borel Algebra is a sigma-algebra on the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
brsigarn	⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Proof of Theorem brsigarn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6685	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ V
2		sigagensiga 31402	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ V → (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) ∈ (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
4		df-brsiga 31443	. 2 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5		uniretop 23373	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
6	5	fveq2i 6675	. 2 ⊢ (sigAlgebra‘ℝ) = (sigAlgebra‘∪ (topGen‘ran (,)))
7	3, 4, 6	3eltr4i 2928	1 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ∪ cuni 4840  ran crn 5558  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  (,)cioo 12741  topGenctg 16713  sigAlgebracsiga 31369  sigaGencsigagen 31399  𝔅_ℝcbrsiga 31442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745  df-topgen 16719  df-bases 21556  df-siga 31370  df-sigagen 31400  df-brsiga 31443

This theorem is referenced by:  brsigasspwrn  31446  mbfmvolf  31526  elmbfmvol2  31527  mbfmcnt  31528  br2base  31529  dya2iocbrsiga  31535  dya2icobrsiga  31536  sxbrsigalem5  31548  sxbrsiga  31550  isrrvv  31703  rrvadd  31712  rrvmulc  31713  dstrvprob  31731