Theorem retop 25135

Description: The standard topology on the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
retop	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

Proof of Theorem retop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25134	. 2 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		tgcl 23342	. 2 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (,)cioo 13516  topGenctg 17658  Topctop 23266  TopBasesctb 23318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ioo 13520  df-topgen 17664  df-top 23267  df-bases 23319

This theorem is used by:  retopon  25137  retps  25138  icccld  25140  icopnfcld  25141  iocmnfcld  25142  qdensere  25143  zcld  25188  iccntr  25196  icccmp  25200  reconnlem2  25202  retopconn  25204  rectbntr0  25207  cnmpopc  25304  icoopnst  25315  iocopnst  25316  cnheiborlem  25330  bndth  25334  pcoass  25400  evthicc  25835  ovolicc2  25898  subopnmbl  25980  dvlip  26368  dvlip2  26370  dvne0  26386  lhop2  26390  lhop  26391  dvcnvrelem2  26393  dvcnvre  26394  ftc1  26417  taylthlem2  26758  cxpcn3  27133  lgamgulmlem2  27414  circtopn  34580  tpr2rico  34655  rrhqima  34757  rrhre  34764  brsiga  34927  unibrsiga  34930  elmbfmvol2  35010  sxbrsigalem3  35015  dya2iocbrsiga  35018  dya2icobrsiga  35019  dya2iocucvr  35027  sxbrsigalem1  35028  orrvcval4  35208  orrvcoel  35209  orrvccel  35210  retopsconn  36222  iccllysconn  36223  rellysconn  36224  cvmliftlem8  36265  cvmliftlem10  36267  ivthALT  37338  ptrecube  38806  poimirlem29  38835  poimirlem30  38836  poimirlem31  38837  poimir  38839  broucube  38840  mblfinlem1  38843  mblfinlem2  38844  mblfinlem3  38845  mblfinlem4  38846  ismblfin  38847  cnambfre  38854  ftc1cnnc  38878  dvrelog3  43381  redvmptabs  43677  reopn  46578  ioontr  46796  iocopn  46805  icoopn  46810  limciccioolb  46906  limcicciooub  46920  lptre2pt  46923  limcresiooub  46925  limcresioolb  46926  limclner  46934  limclr  46938  icccncfext  47170  cncfiooicclem1  47176  fperdvper  47202  stoweidlem53  47336  stoweidlem57  47340  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem3  47388  dirkercncflem4  47389  fourierdlem32  47422  fourierdlem33  47423  fourierdlem42  47432  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem73  47462  fouriersw  47514  iooborel  47634  bor1sal  47638  incsmf  48025  decsmf  48050  smfpimbor1lem2  48082  smf2id  48084  smfco  48085  iooii  50363