Theorem retop 25073

Description: The standard topology on the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
retop	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

Proof of Theorem retop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25072	. 2 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		tgcl 23280	. 2 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (,)cioo 13469  topGenctg 17601  Topctop 23204  TopBasesctb 23256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ioo 13473  df-topgen 17607  df-top 23205  df-bases 23257

This theorem is used by:  retopon  25075  retps  25076  icccld  25078  icopnfcld  25079  iocmnfcld  25080  qdensere  25081  zcld  25126  iccntr  25134  icccmp  25138  reconnlem2  25140  retopconn  25142  rectbntr0  25145  cnmpopc  25242  icoopnst  25253  iocopnst  25254  cnheiborlem  25268  bndth  25272  pcoass  25338  evthicc  25773  ovolicc2  25836  subopnmbl  25918  dvlip  26306  dvlip2  26308  dvne0  26324  lhop2  26328  lhop  26329  dvcnvrelem2  26331  dvcnvre  26332  ftc1  26355  taylthlem2  26694  cxpcn3  27069  lgamgulmlem2  27350  circtopn  34462  tpr2rico  34537  rrhqima  34639  rrhre  34646  brsiga  34809  unibrsiga  34812  elmbfmvol2  34892  sxbrsigalem3  34897  dya2iocbrsiga  34900  dya2icobrsiga  34901  dya2iocucvr  34909  sxbrsigalem1  34910  orrvcval4  35090  orrvcoel  35091  orrvccel  35092  retopsconn  35993  iccllysconn  35994  rellysconn  35995  cvmliftlem8  36036  cvmliftlem10  36038  ivthALT  37103  ptrecube  38518  poimirlem29  38547  poimirlem30  38548  poimirlem31  38549  poimir  38551  broucube  38552  mblfinlem1  38555  mblfinlem2  38556  mblfinlem3  38557  mblfinlem4  38558  ismblfin  38559  cnambfre  38566  ftc1cnnc  38590  dvrelog3  43095  redvmptabs  43391  reopn  46274  ioontr  46492  iocopn  46501  icoopn  46506  limciccioolb  46602  limcicciooub  46616  lptre2pt  46619  limcresiooub  46621  limcresioolb  46622  limclner  46630  limclr  46634  icccncfext  46866  cncfiooicclem1  46872  fperdvper  46898  stoweidlem53  47032  stoweidlem57  47036  dirkercncflem2  47083  dirkercncflem3  47084  dirkercncflem4  47085  fourierdlem32  47118  fourierdlem33  47119  fourierdlem42  47128  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem58  47143  fourierdlem62  47147  fourierdlem73  47158  fouriersw  47210  iooborel  47330  bor1sal  47334  incsmf  47721  decsmf  47746  smfpimbor1lem2  47778  smf2id  47780  smfco  47781  iooii  49995