Theorem retop 25087

Description: The standard topology on the reals. (Contributed by FL, 4-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
retop	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

Proof of Theorem retop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25086	. 2 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		tgcl 23294	. 2 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (,)cioo 13481  topGenctg 17615  Topctop 23218  TopBasesctb 23270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-ioo 13485  df-topgen 17621  df-top 23219  df-bases 23271

This theorem is used by:  retopon  25089  retps  25090  icccld  25092  icopnfcld  25093  iocmnfcld  25094  qdensere  25095  zcld  25140  iccntr  25148  icccmp  25152  reconnlem2  25154  retopconn  25156  rectbntr0  25159  cnmpopc  25256  icoopnst  25267  iocopnst  25268  cnheiborlem  25282  bndth  25286  pcoass  25352  evthicc  25787  ovolicc2  25850  subopnmbl  25932  dvlip  26320  dvlip2  26322  dvne0  26338  lhop2  26342  lhop  26343  dvcnvrelem2  26345  dvcnvre  26346  ftc1  26369  taylthlem2  26708  cxpcn3  27083  lgamgulmlem2  27364  circtopn  34517  tpr2rico  34592  rrhqima  34694  rrhre  34701  brsiga  34864  unibrsiga  34867  elmbfmvol2  34947  sxbrsigalem3  34952  dya2iocbrsiga  34955  dya2icobrsiga  34956  dya2iocucvr  34964  sxbrsigalem1  34965  orrvcval4  35145  orrvcoel  35146  orrvccel  35147  retopsconn  36102  iccllysconn  36103  rellysconn  36104  cvmliftlem8  36145  cvmliftlem10  36147  ivthALT  37217  ptrecube  38645  poimirlem29  38674  poimirlem30  38675  poimirlem31  38676  poimir  38678  broucube  38679  mblfinlem1  38682  mblfinlem2  38683  mblfinlem3  38684  mblfinlem4  38685  ismblfin  38686  cnambfre  38693  ftc1cnnc  38717  dvrelog3  43222  redvmptabs  43518  reopn  46412  ioontr  46630  iocopn  46639  icoopn  46644  limciccioolb  46740  limcicciooub  46754  lptre2pt  46757  limcresiooub  46759  limcresioolb  46760  limclner  46768  limclr  46772  icccncfext  47004  cncfiooicclem1  47010  fperdvper  47036  stoweidlem53  47170  stoweidlem57  47174  dirkercncflem2  47221  dirkercncflem3  47222  dirkercncflem4  47223  fourierdlem32  47256  fourierdlem33  47257  fourierdlem42  47266  fourierdlem48  47271  fourierdlem49  47272  fourierdlem58  47281  fourierdlem62  47285  fourierdlem73  47296  fouriersw  47348  iooborel  47468  bor1sal  47472  incsmf  47859  decsmf  47884  smfpimbor1lem2  47916  smf2id  47918  smfco  47919  iooii  50139