Theorem infxpidm 10542

Description: Every infinite class is equinumerous to its Cartesian square. This theorem, which is equivalent to the axiom of choice over ZF, provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. This is a corollary of infxpen 9994 (used via infxpidm2 9997). (Contributed by NM, 17-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infxpidm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8945	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5716	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		numth3 10450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5		infxpidm2 9997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	4, 5	mpancom 700	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110   × cxp 5657  dom cdm 5659  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-ac2 10443

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-card 9921  df-ac 10096

This theorem is referenced by:  unirnfdomd  10548  inar1  10756