Theorem infxpidm 10576

Description: Every infinite class is equinumerous to its Cartesian square. This theorem, which is equivalent to the axiom of choice over ZF, provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. This is a corollary of infxpen 10028 (used via infxpidm2 10031). (Contributed by NM, 17-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infxpidm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8965	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5711	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		numth3 10484	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5		infxpidm2 10031	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	4, 5	mpancom 688	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   × cxp 5652  dom cdm 5654  ωcom 7861   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-ac2 10477

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-oi 9524  df-card 9953  df-ac 10130

This theorem is referenced by:  unirnfdomd  10581  inar1  10789