Theorem infxpidm 10557

Description: Every infinite class is equinumerous to its Cartesian square. This theorem, which is equivalent to the axiom of choice over ZF, provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. This is a corollary of infxpen 10010 (used via infxpidm2 10013). (Contributed by NM, 17-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infxpidm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8951	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5720	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		numth3 10465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ dom card)
5		infxpidm2 10013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
6	4, 5	mpancom 701	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  ωcom 7864   ≈ cen 8942   ≼ cdom 8943  cardccrd 9933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-ac2 10458

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9475  df-card 9937  df-ac 10112

This theorem is used by:  unirnfdomd  10563  inar1  10771