Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme12.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme12.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | | cdleme12.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme12 38780 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ πΉ) β§ (π β¨ πΊ)) = π) |
10 | 9, 6 | eqtrdi 2789 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ πΉ) β§ (π β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β§ π)) |
11 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
12 | 11 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
13 | | simp21l 1291 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
14 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
15 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
16 | 15, 2, 4 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
17 | 11, 13, 14, 16 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
18 | | simp1r 1199 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π») |
19 | 15, 5 | lhpbase 38507 |
. . . 4
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 15, 1, 3 | latmle1 18358 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
22 | 12, 17, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
23 | 10, 22 | eqbrtrd 5128 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ πΉ) β§ (π β¨ πΊ)) β€ (π β¨ π)) |