Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme12 39655
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph on p. 114, first part of 3rd sentence. 𝐹 and 𝐺 represent f(s) and f(t) respectively. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme12.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme12.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme12.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∧ (𝑇 ∨ 𝐺)) = π‘ˆ)
Proof of Theorem cdleme12
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21l 1287 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simp31 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
5 cdleme12.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdleme12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme12.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdleme12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdleme12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdleme12.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
11 cdleme12.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11cdleme1 39611 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 ∨ 𝐹) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
131, 2, 3, 4, 12syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝐹) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
14 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
16 simp23 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
175, 6, 7, 8, 9, 10lhpat2 39429 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
181, 15, 3, 16, 17syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
19 simp31l 1293 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
206, 8hlatjcom 38751 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
2114, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
2213, 21eqtr4d 2769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑆 ∨ 𝐹) = (π‘ˆ ∨ 𝑆))
23 simp32 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
24 cdleme12.g . . . . . 6 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
255, 6, 7, 8, 9, 10, 24cdleme1 39611 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑇 ∨ 𝐺) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
261, 2, 3, 23, 25syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑇 ∨ 𝐺) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
27 simp32l 1295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
286, 8hlatjcom 38751 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
2914, 18, 27, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (π‘ˆ ∨ 𝑇) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
3026, 29eqtr4d 2769 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑇 ∨ 𝐺) = (π‘ˆ ∨ 𝑇))
3122, 30oveq12d 7423 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∧ (𝑇 ∨ 𝐺)) = ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑇)))
32 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
335, 6, 7, 82llnma2 39173 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑇)) = π‘ˆ)
3414, 19, 27, 18, 32, 33syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑇)) = π‘ˆ)
3531, 34eqtrd 2766 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ Β¬ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∧ (𝑇 ∨ 𝐺)) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme13  39656  cdleme16b  39663
  Copyright terms: Public domain W3C validator