Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp21 1207 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp22 1208 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp23 1209 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp3l 1202 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
6 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
7 | | simp21l 1291 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
8 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
9 | | cdleme18.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme18.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme18.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | hlatlej2 37884 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
13 | 6, 7, 8, 12 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | | simp3r 1203 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
15 | | cdleme18.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdleme18.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdleme18.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
18 | | cdleme18.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
19 | | cdleme18.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
20 | 9, 10, 15, 11, 16, 17, 18, 19 | cdleme7 38758 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΊ β€ π) |
21 | 1, 2, 3, 3, 4, 5, 13, 14, 20 | syl323anc 1401 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΊ β€ π) |