Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme4.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme4.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme4.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme4.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme4.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme4.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme4.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | | cdleme4.g |
. . 3
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
9 | | eqid 2737 |
. . 3
β’ ((π
β¨ π) β§ π) = ((π
β¨ π) β§ π) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | cdleme7d 38712 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π) |
11 | | simp11l 1285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
12 | | simp2ll 1241 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme7ga 38714 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
14 | 1, 2, 4 | hlatlej2 37841 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ πΊ β π΄) β πΊ β€ (π
β¨ πΊ)) |
15 | 11, 12, 13, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β€ (π
β¨ πΊ)) |
16 | 15 | biantrurd 534 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΊ β€ π β (πΊ β€ (π
β¨ πΊ) β§ πΊ β€ π))) |
17 | 11 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
18 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
19 | 18, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (πΊ β π΄ β πΊ β (BaseβπΎ)) |
20 | 13, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
21 | 18, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ πΊ β π΄) β (π
β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
22 | 11, 12, 13, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
23 | | simp11r 1286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
24 | 18, 5 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 18, 1, 3 | latlem12 18356 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΊ β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ πΊ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((πΊ β€ (π
β¨ πΊ) β§ πΊ β€ π) β πΊ β€ ((π
β¨ πΊ) β§ π))) |
27 | 17, 20, 22, 25, 26 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΊ β€ (π
β¨ πΊ) β§ πΊ β€ π) β πΊ β€ ((π
β¨ πΊ) β§ π))) |
28 | | simp11 1204 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
29 | | simp12l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
30 | | simp13l 1289 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
31 | | simp2l 1200 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
32 | | simp2r 1201 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
33 | | simp32 1211 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
34 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme6 38707 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ πΊ) β§ π) = π) |
35 | 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34 | syl132anc 1389 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ πΊ) β§ π) = π) |
36 | 35 | breq2d 5118 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΊ β€ ((π
β¨ πΊ) β§ π) β πΊ β€ π)) |
37 | 27, 36 | bitrd 279 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((πΊ β€ (π
β¨ πΊ) β§ πΊ β€ π) β πΊ β€ π)) |
38 | | hlatl 37825 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
39 | 11, 38 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
40 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
41 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
42 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | lhpat2 38511 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
43 | 28, 40, 30, 41, 42 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
44 | 1, 4 | atcmp 37776 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β AtLat β§ πΊ β π΄ β§ π β π΄) β (πΊ β€ π β πΊ = π)) |
45 | 39, 13, 43, 44 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΊ β€ π β πΊ = π)) |
46 | 16, 37, 45 | 3bitrd 305 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (πΊ β€ π β πΊ = π)) |
47 | 46 | necon3bbid 2982 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (Β¬ πΊ β€ π β πΊ β π)) |
48 | 10, 47 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΊ β€ π) |