Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme1.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme1.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
8 | | eqid 2737 |
. . 3
β’ ((π β¨ π
) β§ π) = ((π β¨ π
) β§ π) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cdleme3g 38700 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β π) |
10 | | simp1l 1198 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
11 | 10 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
12 | | simp23l 1295 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
13 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | 13, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme3fa 38702 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
17 | 13, 4 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ β π΄ β πΉ β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | 13, 1, 2 | latlej2 18339 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β πΉ β€ (π
β¨ πΉ)) |
20 | 11, 15, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β€ (π
β¨ πΉ)) |
21 | 20 | biantrurd 534 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β€ π β (πΉ β€ (π
β¨ πΉ) β§ πΉ β€ π))) |
22 | 13, 2, 4 | hlatjcl 37832 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ πΉ β π΄) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
23 | 10, 12, 16, 22 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
24 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
25 | 13, 5 | lhpbase 38464 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 13, 1, 3 | latlem12 18356 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉ β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((πΉ β€ (π
β¨ πΉ) β§ πΉ β€ π) β πΉ β€ ((π
β¨ πΉ) β§ π))) |
28 | 11, 18, 23, 26, 27 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β€ (π
β¨ πΉ) β§ πΉ β€ π) β πΉ β€ ((π
β¨ πΉ) β§ π))) |
29 | | simp1 1137 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
30 | | simp21l 1291 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
31 | | simp22l 1293 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
32 | | simp23 1209 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
33 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | cdleme2 38694 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ πΉ) β§ π) = π) |
34 | 29, 30, 31, 32, 33 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ πΉ) β§ π) = π) |
35 | 34 | breq2d 5118 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β€ ((π
β¨ πΉ) β§ π) β πΉ β€ π)) |
36 | 28, 35 | bitrd 279 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β€ (π
β¨ πΉ) β§ πΉ β€ π) β πΉ β€ π)) |
37 | | hlatl 37825 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
38 | 10, 37 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
39 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
40 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
41 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | lhpat2 38511 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
42 | 29, 39, 31, 40, 41 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
43 | 1, 4 | atcmp 37776 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β AtLat β§ πΉ β π΄ β§ π β π΄) β (πΉ β€ π β πΉ = π)) |
44 | 38, 16, 42, 43 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β€ π β πΉ = π)) |
45 | 21, 36, 44 | 3bitrd 305 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β€ π β πΉ = π)) |
46 | 45 | necon3bbid 2982 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β (Β¬ πΉ β€ π β πΉ β π)) |
47 | 9, 46 | mpbird 257 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΉ β€ π) |