Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefr44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefr44 37631
 Description: Value of f(r) when r is an atom not under pq, using more compact hypotheses. TODO: eliminate and use cdlemefr45 instead? TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 31-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef44.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemef44.l = (le‘𝐾)
cdlemef44.j = (join‘𝐾)
cdlemef44.m = (meet‘𝐾)
cdlemef44.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemef44.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemef44.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdlemef44.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdlemef44.o 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊))))
cdlemef44.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdlemefr44 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) = 𝑅 / 𝑡𝐷)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑥,𝐷,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑥,𝐼,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑅,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefr44
StepHypRef Expression
1 cdlemef44.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdlemef44.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdlemef44.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdlemef44.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 cdlemef44.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemef44.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemef44.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 eqid 2824 . . 3 ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊))) = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
9 biid 264 . . . 4 (𝑠 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑠 (𝑃 𝑄))
10 vex 3483 . . . . 5 𝑠 ∈ V
11 cdlemef44.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
1211, 8cdleme31sc 37590 . . . . 5 (𝑠 ∈ V → 𝑠 / 𝑡𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊))))
1310, 12ax-mp 5 . . . 4 𝑠 / 𝑡𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
149, 13ifbieq2i 4473 . . 3 if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝑠 / 𝑡𝐷) = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊))))
15 cdlemef44.o . . 3 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊))))
16 cdlemef44.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
17 eqid 2824 . . 3 ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))) = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16, 17cdlemefr31fv1 37617 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))))
19 simp2rl 1239 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅𝐴)
2011, 17cdleme31sc 37590 . . 3 (𝑅𝐴𝑅 / 𝑡𝐷 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))))
2119, 20syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅 / 𝑡𝐷 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊))))
2218, 21eqtr4d 2862 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → (𝐹𝑅) = 𝑅 / 𝑡𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  Vcvv 3480  ⦋csb 3866  ifcif 4449   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  ℩crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  lecple 16568  joincjn 17550  meetcmee 17551  Atomscatm 36469  HLchlt 36556  LHypclh 37190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36382  df-ol 36384  df-oml 36385  df-covers 36472  df-ats 36473  df-atl 36504  df-cvlat 36528  df-hlat 36557  df-lines 36707  df-psubsp 36709  df-pmap 36710  df-padd 37002  df-lhyp 37194 This theorem is referenced by:  cdlemefr45  37633
 Copyright terms: Public domain W3C validator