Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs29clN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefrs29clN 39258
Description: TODO: NOT USED? Show closure of the unique element in cdlemefrs29cpre1 39257. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.eq (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
cdlemefrs27.nb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
cdlemefrs27.rnb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
cdlemefrs29cl.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29clN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑠,𝐴   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘Š,𝑠   πœ“,𝑠   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   𝑧, ≀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,π‘Š   πœ“,𝑧   𝐡,𝑠   𝑧, ∨   ∧ ,𝑠,𝑧   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑂(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefrs29clN
StepHypRef Expression
1 cdlemefrs29cl.o . . 3 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
2 simpl11 1248 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpl2r 1227 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
4 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ πœ“)
5 simpr 485 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
6 cdlemefrs27.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemefrs27.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemefrs27.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemefrs27.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemefrs27.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemefrs27.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemefrs27.eq . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemefrs29pre00 39254 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
142, 3, 4, 5, 13syl31anc 1373 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
1514imbi1d 341 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
1615ralbidva 3175 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
1716riotabidv 7363 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
181, 17eqtr4id 2791 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
19 cdlemefrs27.nb . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
20 cdlemefrs27.rnb . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
216, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20cdlemefrs29cpre1 39257 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
22 riotacl 7379 . . 3 (βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
2418, 23eqeltrd 2833 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3374  β¦‹csb 3892   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdlemefr29clN  39266  cdlemefs29clN  39278
  Copyright terms: Public domain W3C validator