Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs29clN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefrs29clN 38891
Description: TODO: NOT USED? Show closure of the unique element in cdlemefrs29cpre1 38890. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.eq (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
cdlemefrs27.nb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
cdlemefrs27.rnb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
cdlemefrs29cl.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29clN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑠,𝐴   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘Š,𝑠   πœ“,𝑠   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   𝑧, ≀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,π‘Š   πœ“,𝑧   𝐡,𝑠   𝑧, ∨   ∧ ,𝑠,𝑧   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑂(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem cdlemefrs29clN
StepHypRef Expression
1 cdlemefrs29cl.o . . 3 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
2 simpl11 1249 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simpl2r 1228 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
4 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ πœ“)
5 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
6 cdlemefrs27.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 cdlemefrs27.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemefrs27.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemefrs27.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemefrs27.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemefrs27.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemefrs27.eq . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemefrs29pre00 38887 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
142, 3, 4, 5, 13syl31anc 1374 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
1514imbi1d 342 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
1615ralbidva 3173 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
1716riotabidv 7320 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
181, 17eqtr4id 2796 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
19 cdlemefrs27.nb . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
20 cdlemefrs27.rnb . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
216, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20cdlemefrs29cpre1 38890 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
22 riotacl 7336 . . 3 (βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) ∈ 𝐡)
2418, 23eqeltrd 2838 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑂 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒ!wreu 3354  β¦‹csb 3860   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdlemefr29clN  38899  cdlemefs29clN  38911
  Copyright terms: Public domain W3C validator