Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemefrs29cl.o |
. . 3
β’ π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
2 | | simpl11 1249 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
4 | | simpl3 1194 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β π) |
5 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β π β π΄) |
6 | | cdlemefrs27.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdlemefrs27.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemefrs27.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
9 | | cdlemefrs27.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemefrs27.a |
. . . . . . . 8
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemefrs27.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | | cdlemefrs27.eq |
. . . . . . . 8
β’ (π = π
β (π β π)) |
13 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemefrs29pre00 38887 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
14 | 2, 3, 4, 5, 13 | syl31anc 1374 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
15 | 14 | imbi1d 342 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ π β π΄) β ((((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
16 | 15 | ralbidva 3173 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
17 | 16 | riotabidv 7320 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
18 | 1, 17 | eqtr4id 2796 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
19 | | cdlemefrs27.nb |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΅) |
20 | | cdlemefrs27.rnb |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β¦π
/ π β¦π β π΅) |
21 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 20 | cdlemefrs29cpre1 38890 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β β!π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
22 | | riotacl 7336 |
. . 3
β’
(β!π§ β
π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β π΅) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (β©π§ β π΅ βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β π΅) |
24 | 18, 23 | eqeltrd 2838 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π β π΅) |