Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs29cpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefrs29cpre1 39808
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefrs27.eq (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
cdlemefrs27.nb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
cdlemefrs27.rnb ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29cpre1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑠,𝐴   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘Š,𝑠   πœ“,𝑠   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   𝑧, ≀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,π‘Š   πœ“,𝑧   𝐡,𝑠   𝑧, ∨   ∧ ,𝑠,𝑧   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑠)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdlemefrs29cpre1
StepHypRef Expression
1 cdlemefrs27.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemefrs27.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemefrs27.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdlemefrs27.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdlemefrs27.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemefrs27.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemefrs27.eq . . 3 (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
8 cdlemefrs27.nb . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
9 cdlemefrs27.rnb . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdlemefrs29bpre1 39807 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
11 simp11 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simp2rl 1240 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
131, 5atbase 38698 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
15 simp2rr 1241 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
161, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 39434 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅))
1711, 14, 15, 16syl12anc 836 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅))
18 simpl3 1191 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ πœ“)
197pm5.32ri 575 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅) ↔ (πœ“ ∧ 𝑠 = 𝑅))
2019baibr 536 . . . . . . . . 9 (πœ“ β†’ (𝑠 = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
2118, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
22 simp2r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
23 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
242, 4, 23, 5, 6lhpmat 39440 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
2511, 22, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
2726oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)))
28 simp11l 1282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
29 hlol 38770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ OL)
311, 5atbase 38698 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
321, 3, 23olj01 38634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
3330, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
3427, 33eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑠)
3534eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 ↔ 𝑠 = 𝑅))
3635anbi2d 628 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
3721, 35, 363bitr4d 311 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
3837anbi2d 628 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅))))
39 anass 468 . . . . . 6 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
4038, 39bitr4di 289 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
4140rexbidva 3171 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
4217, 41mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅))
43 reusv1 5391 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ (βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
4442, 43syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ (βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
4510, 44mpbird 257 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ πœ“) β†’ βˆƒ!𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  βˆƒ!wreu 3369  β¦‹csb 3889   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  lecple 17231  joincjn 18294  meetcmee 18295  0.cp0 18406  OLcol 38583  Atomscatm 38672  HLchlt 38759  LHypclh 39394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-lhyp 39398
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29clN  39809  cdlemefrs32fva  39810  cdlemefs29cpre1N  39828
  Copyright terms: Public domain W3C validator