Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs29pre00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemefrs29pre00 39571
Description: ***START OF VALUE AT ATOM STUFF TO REPLACE ONES BELOW*** FIX COMMENT. TODO: see if this is the optimal utility theorem using lhpmat 39206. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs29.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemefrs29.eq (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29pre00 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))

Proof of Theorem cdlemefrs29pre00
StepHypRef Expression
1 anass 467 . 2 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
2 simpl3 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ πœ“)
3 cdlemefrs29.eq . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑅 β†’ (πœ‘ ↔ πœ“))
43pm5.32ri 574 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅) ↔ (πœ“ ∧ 𝑠 = 𝑅))
54baibr 535 . . . . 5 (πœ“ β†’ (𝑠 = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
62, 5syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
7 cdlemefrs29.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemefrs29.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
9 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
10 cdlemefrs29.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemefrs29.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
127, 8, 9, 10, 11lhpmat 39206 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
13123adant3 1130 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
1514oveq2d 7429 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)))
16 simpl1l 1222 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
17 hlol 38536 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ OL)
19 cdlemefrs29.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2019, 10atbase 38464 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
2120adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
22 cdlemefrs29.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2319, 22, 9olj01 38400 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
2418, 21, 23syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
2515, 24eqtrd 2770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑠)
2625eqeq1d 2732 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 ↔ 𝑠 = 𝑅))
2726anbi2d 627 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 = 𝑅)))
286, 26, 273bitr4d 310 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 ↔ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
2928anbi2d 627 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (πœ‘ ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅))))
301, 29bitr4id 289 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ πœ“) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ πœ‘) ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18270  meetcmee 18271  0.cp0 18382  OLcol 38349  Atomscatm 38438  HLchlt 38525  LHypclh 39160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18254  df-poset 18272  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-oposet 38351  df-ol 38353  df-oml 38354  df-covers 38441  df-ats 38442  df-atl 38473  df-cvlat 38497  df-hlat 38526  df-lhyp 39164
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29clN  39575  cdlemefrs32fva  39576  cdlemefs29pre00N  39588
  Copyright terms: Public domain W3C validator