Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | anass 470 |
. 2
β’ (((Β¬
π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
2 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β π) |
3 | | cdlemefrs29.eq |
. . . . . . 7
β’ (π = π
β (π β π)) |
4 | 3 | pm5.32ri 577 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π = π
) β (π β§ π = π
)) |
5 | 4 | baibr 538 |
. . . . 5
β’ (π β (π = π
β (π β§ π = π
))) |
6 | 2, 5 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (π = π
β (π β§ π = π
))) |
7 | | cdlemefrs29.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
8 | | cdlemefrs29.m |
. . . . . . . . . 10
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
10 | | cdlemefrs29.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | | cdlemefrs29.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | lhpmat 38522 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
13 | 12 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
15 | 14 | oveq2d 7378 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (π β¨ (π
β§ π)) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
16 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
17 | | hlol 37852 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β πΎ β OL) |
19 | | cdlemefrs29.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
20 | 19, 10 | atbase 37780 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
21 | 20 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β π β π΅) |
22 | | cdlemefrs29.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
23 | 19, 22, 9 | olj01 37716 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π ) |
24 | 18, 21, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π ) |
25 | 15, 24 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (π β¨ (π
β§ π)) = π ) |
26 | 25 | eqeq1d 2739 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π = π
)) |
27 | 26 | anbi2d 630 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β ((π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (π β§ π = π
))) |
28 | 6, 26, 27 | 3bitr4d 311 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β (π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
29 | 28 | anbi2d 630 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
)))) |
30 | 1, 29 | bitr4id 290 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ π) β§ π β π΄) β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |