Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-ral 3057 |
. . 3
β’
(βπ β
π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ (π β π΄ β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
2 | | anass 468 |
. . . . . . 7
β’ (((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β (π β π΄ β§ ((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
))) |
3 | 2 | imbi1i 349 |
. . . . . 6
β’ ((((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β ((π β π΄ β§ ((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
)) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) |
4 | | impexp 450 |
. . . . . 6
β’ ((((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
5 | | impexp 450 |
. . . . . 6
β’ (((π β π΄ β§ ((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
)) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β (π β π΄ β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
6 | 3, 4, 5 | 3bitr3ri 302 |
. . . . 5
β’ ((π β π΄ β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π§ = (π β¨ (π
β§ π))))) |
7 | | simpl11 1246 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
8 | | simpl2r 1225 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
9 | | cdlemefrs27.l |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdlemefrs27.m |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
11 | | eqid 2727 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
12 | | cdlemefrs27.a |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdlemefrs27.h |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | 9, 10, 11, 12, 13 | lhpmat 39440 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
15 | 7, 8, 14 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π
β§ π) = (0.βπΎ)) |
16 | 15 | oveq2d 7430 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (π
β§ π)) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
17 | | simp11l 1282 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β πΎ β HL) |
18 | | hlol 38770 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
19 | 17, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β πΎ β OL) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β πΎ β OL) |
21 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΄) |
22 | | cdlemefrs27.b |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
23 | 22, 12 | atbase 38698 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
24 | 21, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΅) |
25 | | cdlemefrs27.j |
. . . . . . . . . . . 12
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
26 | 22, 25, 11 | olj01 38634 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π ) |
27 | 20, 24, 26 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π ) |
28 | 16, 27 | eqtrd 2767 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (π
β§ π)) = π ) |
29 | 28 | eqeq1d 2729 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π = π
)) |
30 | 15 | oveq2d 7430 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (π
β§ π)) = (π β¨ (0.βπΎ))) |
31 | | simpl1 1189 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
32 | | simpl2l 1224 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π) |
33 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (Β¬ π β€ π β§ π)) |
34 | | cdlemefrs27.nb |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΅) |
35 | 31, 32, 21, 33, 34 | syl112anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β π β π΅) |
36 | 22, 25, 11 | olj01 38634 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
37 | 20, 35, 36 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (0.βπΎ)) = π) |
38 | 30, 37 | eqtrd 2767 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π β¨ (π
β§ π)) = π) |
39 | 38 | eqeq2d 2738 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (π§ = (π β¨ (π
β§ π)) β π§ = π)) |
40 | 29, 39 | imbi12d 344 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π))) β (((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β (π = π
β π§ = π))) |
41 | 40 | pm5.74da 803 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β (π = π
β π§ = π)))) |
42 | | impexp 450 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ π = π
) β π§ = π) β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β (π = π
β π§ = π))) |
43 | | simp2rl 1240 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π
β π΄) |
44 | | simp2rr 1241 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β Β¬ π
β€ π) |
45 | | simp3 1136 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β π) |
46 | | eleq1 2816 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π
β (π β π΄ β π
β π΄)) |
47 | | breq1 5145 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π
β (π β€ π β π
β€ π)) |
48 | 47 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π
β (Β¬ π β€ π β Β¬ π
β€ π)) |
49 | | cdlemefrs27.eq |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π
β (π β π)) |
50 | 48, 49 | anbi12d 630 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π
β ((Β¬ π β€ π β§ π) β (Β¬ π
β€ π β§ π))) |
51 | 46, 50 | anbi12d 630 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π
β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β (π
β π΄ β§ (Β¬ π
β€ π β§ π)))) |
52 | 51 | biimprcd 249 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π
β π΄ β§ (Β¬ π
β€ π β§ π)) β (π = π
β (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)))) |
53 | 43, 44, 45, 52 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (π = π
β (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)))) |
54 | 53 | pm4.71rd 562 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (π = π
β ((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ π = π
))) |
55 | 54 | imbi1d 341 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β ((π = π
β π§ = π) β (((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ π = π
) β π§ = π))) |
56 | | eqcom 2734 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π β π = π§) |
57 | 56 | imbi2i 336 |
. . . . . . . 8
β’ ((π = π
β π§ = π) β (π = π
β π = π§)) |
58 | 55, 57 | bitr3di 286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β ((((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β§ π = π
) β π§ = π) β (π = π
β π = π§))) |
59 | 42, 58 | bitr3id 285 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β (π = π
β π§ = π)) β (π = π
β π = π§))) |
60 | 41, 59 | bitrd 279 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (((π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ π)) β ((π β¨ (π
β§ π)) = π
β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β (π = π
β π = π§))) |
61 | 6, 60 | bitrid 283 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β ((π β π΄ β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β (π = π
β π = π§))) |
62 | 61 | albidv 1916 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ (π β π΄ β (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π)))) β βπ (π = π
β π = π§))) |
63 | 1, 62 | bitrid 283 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β βπ (π = π
β π = π§))) |
64 | | nfcv 2898 |
. . . . 5
β’
β²π π§ |
65 | 64 | csbiebg 3922 |
. . . 4
β’ (π
β π΄ β (βπ (π = π
β π = π§) β β¦π
/ π β¦π = π§)) |
66 | 43, 65 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ (π = π
β π = π§) β β¦π
/ π β¦π = π§)) |
67 | | eqcom 2734 |
. . 3
β’
(β¦π
/
π β¦π = π§ β π§ = β¦π
/ π β¦π) |
68 | 66, 67 | bitrdi 287 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ (π = π
β π = π§) β π§ = β¦π
/ π β¦π)) |
69 | 63, 68 | bitrd 279 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ π) β (βπ β π΄ (((Β¬ π β€ π β§ π) β§ (π β¨ (π
β§ π)) = π
) β π§ = (π β¨ (π
β§ π))) β π§ = β¦π
/ π β¦π)) |