Theorem cdlemg3a 38158

Description: Part of proof of Lemma G in [Crawley] p. 116, line 19. Show p ∨ q = p ∨ u. TODO: reformat cdleme0cp 37775 to match this, then replace with cdleme0cp 37775. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg3.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg3a	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈))

Proof of Theorem cdlemg3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg3.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemg3.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdlemg3.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cdlemg3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemg3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemg3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cdleme8 37811	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑃 ∨ 𝑄))
8	7	eqcomd 2765	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  lecple 16615  joincjn 17605  meetcmee 17606  Atomscatm 36824  HLchlt 36911  LHypclh 37545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-proset 17589  df-poset 17607  df-plt 17619  df-lub 17635  df-glb 17636  df-join 17637  df-meet 17638  df-p0 17700  df-p1 17701  df-lat 17707  df-clat 17769  df-oposet 36737  df-ol 36739  df-oml 36740  df-covers 36827  df-ats 36828  df-atl 36859  df-cvlat 36883  df-hlat 36912  df-psubsp 37064  df-pmap 37065  df-padd 37357  df-lhyp 37549

This theorem is referenced by:  cdlemg9a  38193  cdlemg9b  38194  cdlemg12b  38205