Theorem cdlemg2jOLDN 41795

Description: TODO: Replace this with ltrnj 41329. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2jOLDN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

Proof of Theorem cdlemg2jOLDN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2763	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊)
9		eqid 2763	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
10		eqid 2763	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
11		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2jlemOLDN 41790	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ⦋csb 3850  ifcif 4484   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  ℩crio 7383  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  lecple 17447  joincjn 18497  meetcmee 18498  Atomscatm 40460  HLchlt 40547  LHypclh 41181  LTrncltrn 41298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-riotaBAD 40150

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-undef 8301  df-map 8860  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-p1 18610  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696  df-lvols 40697  df-lines 40698  df-psubsp 40700  df-pmap 40701  df-padd 40993  df-lhyp 41185  df-laut 41186  df-ldil 41301  df-ltrn 41302  df-trl 41356

This theorem is used by: (None)