Theorem cdlemg2jOLDN 39561

Description: TODO: Replace this with ltrnj 39095. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2jOLDN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

Proof of Theorem cdlemg2jOLDN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2732	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊)
9		eqid 2732	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
10		eqid 2732	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
11		eqid 2732	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2jlemOLDN 39556	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ⦋csb 3893  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℩crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  meetcmee 18267  Atomscatm 38225  HLchlt 38312  LHypclh 38947  LTrncltrn 39064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951  df-laut 38952  df-ldil 39067  df-ltrn 39068  df-trl 39122

This theorem is referenced by: (None)