Theorem cdlemg2jOLDN 41432

Description: TODO: Replace this with ltrnj 40966. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2jOLDN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

Proof of Theorem cdlemg2jOLDN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		cdlemg2j.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg2j.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5		cdlemg2j.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemg2inv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemg2inv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2765	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊)
9		eqid 2765	. 2 ⊢ ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
10		eqid 2765	. 2 ⊢ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))
11		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)(((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))) ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊))))), ⦋𝑠 / 𝑡⦌((𝑡 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑞)(meet‘𝐾)𝑊))(meet‘𝐾)(𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡)(meet‘𝐾)𝑊)))) ∨ (𝑥(meet‘𝐾)𝑊)))), 𝑥))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemg2jlemOLDN 41427	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝐹‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ⦋csb 3854  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  joincjn 18391  meetcmee 18392  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  LHypclh 40818  LTrncltrn 40935

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8275  df-map 8832  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993

This theorem is used by: (None)