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Theorem cdlemg4a 39782
Description: TODO: FIX COMMENT If fg(p) = p, then tr f = tr g. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
Proof of Theorem cdlemg4a
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
21oveq2d 7427 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)𝑃))
3 simp1l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp1 1136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simp23 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simp21 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
7 cdlemg4.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg4.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg4.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg4.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10ltrnel 39313 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
1211simpld 495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
134, 5, 6, 12syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
14 simp21l 1290 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
1615, 8hlatjcom 38541 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)𝑃) = (𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ)))
173, 13, 14, 16syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)𝑃) = (𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ)))
182, 17eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ)))
1918oveq1d 7426 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
20 simp22 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
214, 5, 6, 11syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
22 eqid 2732 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
23 cdlemg4.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
247, 15, 22, 8, 9, 10, 23trlval2 39337 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
254, 20, 21, 24syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ)(joinβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
267, 15, 22, 8, 9, 10, 23trlval2 39337 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
274, 5, 6, 26syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃(joinβ€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
2819, 25, 273eqtr4d 2782 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemg4f  39789
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