Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval2 39337
Description: The value of the trace of a lattice translation, given any atom 𝑃 not under the fiducial co-atom π‘Š. Note: this requires only the weaker assumption 𝐾 ∈ Lat; we use 𝐾 ∈ HL for convenience. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))

Proof of Theorem trlval2
Dummy variables π‘₯ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38536 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21anim1i 613 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 trlval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 trlval2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 trlval2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 trlval2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 trlval2.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trlval2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trlval2.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10trlval 39336 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
12113adant3 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
13 simp1l 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simp3l 1199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
153, 7atbase 38462 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
173, 8, 9ltrncl 39299 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syld3an3 1407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 5latjcl 18396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 simp1r 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
223, 8lhpbase 39172 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
243, 6latmcl 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simpl3l 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
27 simpl3r 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
28 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘ž ≀ π‘Š ↔ 𝑃 ≀ π‘Š))
2928notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑃 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
30 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = 𝑃 β†’ π‘ž = 𝑃)
31 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = 𝑃 β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
3230, 31oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
3332oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑃 β†’ ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
3433eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) ↔ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
3529, 34imbi12d 343 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑃 β†’ ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3635rspcv 3607 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3736com23 86 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3826, 27, 37sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
39 simp11 1201 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simp12 1202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
41 simp13l 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
42 simp13r 1287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
43 simp3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
44 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
454, 5, 6, 7, 8, 9ltrnu 39295 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
4639, 40, 41, 42, 43, 44, 45syl222anc 1384 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
47 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ↔ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
4847biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
50493exp 1117 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
5150com24 95 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
5251ralrimdv 3150 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
5352adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
5438, 53impbid 211 . . . 4 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5525, 54riota5 7397 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5612, 55eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
572, 56syl3an1 1161 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  trlcl  39338  trlcnv  39339  trljat1  39340  trljat2  39341  trlat  39343  trl0  39344  trlle  39358  trlval3  39361  trlval5  39363  cdlemd6  39377  cdlemf  39737  cdlemg4a  39782  cdlemg4b1  39783  cdlemg4b2  39784  cdlemg4  39791  cdlemg11b  39816  cdlemg13a  39825  cdlemg13  39826  cdlemg17a  39835  cdlemg17dN  39837  cdlemg17e  39839  cdlemg17f  39840  trlcoabs2N  39896  trlcolem  39900  cdlemg42  39903  cdlemg43  39904  cdlemi1  39992  cdlemk4  40008  cdlemk39  40090  dia2dimlem1  40238  dia2dimlem2  40239  dia2dimlem3  40240  cdlemm10N  40292  cdlemn2  40369  cdlemn10  40380  dihjatcclem3  40594
  Copyright terms: Public domain W3C validator