Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval2 39034
Description: The value of the trace of a lattice translation, given any atom 𝑃 not under the fiducial co-atom π‘Š. Note: this requires only the weaker assumption 𝐾 ∈ Lat; we use 𝐾 ∈ HL for convenience. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))

Proof of Theorem trlval2
Dummy variables π‘₯ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38233 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21anim1i 616 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 trlval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 trlval2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 trlval2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 trlval2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 trlval2.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trlval2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trlval2.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10trlval 39033 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
12113adant3 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
13 simp1l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
14 simp3l 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
153, 7atbase 38159 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
173, 8, 9ltrncl 38996 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1816, 17syld3an3 1410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
193, 5latjcl 18392 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2013, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
223, 8lhpbase 38869 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
243, 6latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2513, 20, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simpl3l 1229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
27 simpl3r 1230 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
28 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘ž ≀ π‘Š ↔ 𝑃 ≀ π‘Š))
2928notbid 318 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑃 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
30 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = 𝑃 β†’ π‘ž = 𝑃)
31 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž = 𝑃 β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
3230, 31oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
3332oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑃 β†’ ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
3433eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑃 β†’ (π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) ↔ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
3529, 34imbi12d 345 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑃 β†’ ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3635rspcv 3609 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3736com23 86 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))))
3826, 27, 37sylc 65 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) β†’ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
39 simp11 1204 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simp12 1205 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
41 simp13l 1289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
42 simp13r 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
43 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
44 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
454, 5, 6, 7, 8, 9ltrnu 38992 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
4639, 40, 41, 42, 43, 44, 45syl222anc 1387 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))
47 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ↔ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
4847biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))
50493exp 1120 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
5150com24 95 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)))))
5251ralrimdv 3153 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
5352adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))))
5438, 53impbid 211 . . . 4 ((((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š)) ↔ π‘₯ = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5525, 54riota5 7395 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ π‘₯ = ((π‘ž ∨ (πΉβ€˜π‘ž)) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5612, 55eqtrd 2773 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
572, 56syl3an1 1164 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  trlcl  39035  trlcnv  39036  trljat1  39037  trljat2  39038  trlat  39040  trl0  39041  trlle  39055  trlval3  39058  trlval5  39060  cdlemd6  39074  cdlemf  39434  cdlemg4a  39479  cdlemg4b1  39480  cdlemg4b2  39481  cdlemg4  39488  cdlemg11b  39513  cdlemg13a  39522  cdlemg13  39523  cdlemg17a  39532  cdlemg17dN  39534  cdlemg17e  39536  cdlemg17f  39537  trlcoabs2N  39593  trlcolem  39597  cdlemg42  39600  cdlemg43  39601  cdlemi1  39689  cdlemk4  39705  cdlemk39  39787  dia2dimlem1  39935  dia2dimlem2  39936  dia2dimlem3  39937  cdlemm10N  39989  cdlemn2  40066  cdlemn10  40077  dihjatcclem3  40291
  Copyright terms: Public domain W3C validator