MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawina Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawina 10730
Description: Every strongly inaccessible cardinal is weakly inaccessible. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawina (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Proof of Theorem inawina
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfon 10295 . . . . 5 (cf‘𝐴) ∈ On
2 eleq1 2829 . . . . 5 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
31, 2mpbii 233 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
433ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5 idd 24 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
6 idd 24 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
7 inawinalem 10729 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
85, 6, 73anim123d 1445 . . 3 (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
94, 8mpcom 38 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
10 elina 10727 . 2 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴))
11 elwina 10726 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
129, 10, 113imtr4i 292 1 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  cfv 6561  csdm 8984  cfccf 9977  Inaccwcwina 10722  Inacccina 10723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-cf 9981  df-wina 10724  df-ina 10725
This theorem is referenced by:  gchina  10739  inar1  10815  inatsk  10818  tskuni  10823  grur1a  10859  grur1  10860  inaprc  10876  inaex  44316  gruex  44317
  Copyright terms: Public domain W3C validator