Theorem inawina 10684

Description: Every strongly inaccessible cardinal is weakly inaccessible. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawina	⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Proof of Theorem inawina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfon 10249	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2815	. . . . 5 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4	3	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
6		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
7		inawinalem 10683	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
8	5, 6, 7	3anim123d 1439	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)))
9	4, 8	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
10		elina 10681	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
11		elwina 10680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  ∅c0 4317  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  ‘cfv 6536   ≺ csdm 8937  cfccf 9931  Inacc_wcwina 10676  Inacccina 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-card 9933  df-cf 9935  df-wina 10678  df-ina 10679

This theorem is referenced by:  gchina  10693  inar1  10769  inatsk  10772  tskuni  10777  grur1a  10813  grur1  10814  inaprc  10830  inaex  43613  gruex  43614