Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawina Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawina 10115
 Description: Every strongly inaccessible cardinal is weakly inaccessible. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawina (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Proof of Theorem inawina
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfon 9680 . . . . 5 (cf‘𝐴) ∈ On
2 eleq1 2903 . . . . 5 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
31, 2mpbii 235 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
433ad2ant2 1130 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5 idd 24 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
6 idd 24 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
7 inawinalem 10114 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
85, 6, 73anim123d 1439 . . 3 (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
94, 8mpcom 38 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
10 elina 10112 . 2 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴))
11 elwina 10111 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
129, 10, 113imtr4i 294 1 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5069  Oncon0 6194  ‘cfv 6358   ≺ csdm 8511  cfccf 9369  Inaccwcwina 10107  Inacccina 10108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-card 9371  df-cf 9373  df-wina 10109  df-ina 10110 This theorem is referenced by:  gchina  10124  inar1  10200  inatsk  10203  tskuni  10208  grur1a  10244  grur1  10245  inaprc  10261  inaex  40639  gruex  40640
 Copyright terms: Public domain W3C validator