Theorem inawina 9827

Description: Every strongly inaccessible cardinal is weakly inaccessible. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawina	⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Proof of Theorem inawina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfon 9392	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2894	. . . . 5 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 225	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4	3	3ad2ant2 1170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
6		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
7		inawinalem 9826	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
8	5, 6, 7	3anim123d 1573	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)))
9	4, 8	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
10		elina 9824	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
11		elwina 9823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
12	9, 10, 11	3imtr4i 284	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378   class class class wbr 4873  Oncon0 5963  ‘cfv 6123   ≺ csdm 8221  cfccf 9076  Inacc_wcwina 9819  Inacccina 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-card 9078  df-cf 9080  df-wina 9821  df-ina 9822

This theorem is referenced by:  gchina  9836  inar1  9912  inatsk  9915  tskuni  9920  grur1a  9956  grur1  9957  inaprc  9973