Theorem inawina 10613

Description: Every strongly inaccessible cardinal is weakly inaccessible. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawina	⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Proof of Theorem inawina

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfon 10177	. . . . 5 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4	3	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
5		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
6		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴))
7		inawinalem 10612	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
8	5, 6, 7	3anim123d 1446	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)))
9	4, 8	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
10		elina 10610	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴))
11		elwina 10609	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085  Oncon0 6323  ‘cfv 6498   ≺ csdm 8892  cfccf 9861  Inacc_wcwina 10605  Inacccina 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-card 9863  df-cf 9865  df-wina 10607  df-ina 10608

This theorem is referenced by:  gchina  10622  inar1  10698  inatsk  10701  tskuni  10706  grur1a  10742  grur1  10743  inaprc  10759  inaex  44724  gruex  44725