MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reparphtiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reparphtiOLD 25043
Description: Obsolete version of reparphti 25042 as of 9-Apr-2025. (Contributed by NM, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
reparpht.1 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
reparpht.2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
reparpht.3 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
reparpht.4 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
reparphtiOLD.5 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
reparphtiOLD (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reparphtiOLD
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reparpht.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn II))
2 reparpht.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 cnco 23289 . . 3 ((𝐺 ∈ (II Cn II) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
5 reparphtiOLD.5 . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))))
6 iitopon 24918 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
8 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 24819 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
10 cnrest2r 23310 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))) ⊆ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
127, 7cnmpt2nd 23692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn II))
13 iirevcn 24970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II)
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑧)) ∈ (II Cn II))
15 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
167, 7, 12, 7, 14, 15cnmpt21 23694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
178dfii3 24922 . . . . . . . . . . 11 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
1817oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
1916, 18eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2011, 19sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
217, 7cnmpt1st 23691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn II))
227, 7, 21, 1cnmpt21f 23695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
2322, 18eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2411, 23sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
258mulcn 24902 . . . . . . . . 9 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
277, 7, 20, 24, 26cnmpt22f 23698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2812, 18eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2911, 28sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3021, 18eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
3111, 30sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
327, 7, 29, 31, 26cnmpt22f 23698 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 · 𝑥)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
338addcn 24900 . . . . . . . 8 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
357, 7, 27, 32, 34cnmpt22f 23698 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
368cnfldtopon 24818 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
38 iiuni 24920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = II
3938, 38cnf 23269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (II Cn II) → 𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
401, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1))
4140ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
4241adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐺𝑥) ∈ (0[,]1))
43 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
44 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
45 0re 11260 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
46 1re 11258 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
47 icccvx 24994 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1)))
4845, 46, 47mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑥) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
4942, 43, 44, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
5049ralrimivva 3199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1))
51 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))
5251fmpo 8091 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5350, 52sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
5453frnd 6744 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1))
55 unitssre 13535 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
56 ax-resscn 11209 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
5755, 56sstri 4004 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
59 cnrest2 23309 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6037, 54, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
6135, 60mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
6261, 18eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
637, 7, 62, 2cnmpt21f 23695 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
645, 63eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6540ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ (0[,]1))
6657, 65sselid 3992 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
6766mullidd 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · (𝐺𝑠)) = (𝐺𝑠))
6857sseli 3990 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) → 𝑠 ∈ ℂ)
6968adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
7069mul02d 11456 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · 𝑠) = 0)
7167, 70oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = ((𝐺𝑠) + 0))
7266addridd 11458 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑠) + 0) = (𝐺𝑠))
7371, 72eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)) = (𝐺𝑠))
7473fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
75 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
76 0elunit 13505 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
7877oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = (1 − 0))
79 1m0e1 12384 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8078, 79eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (1 − 𝑦) = 1)
81 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
8281fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
8380, 82oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (1 · (𝐺𝑠)))
8477, 81oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑦 · 𝑥) = (0 · 𝑠))
8583, 84oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠)))
8685fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
87 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))) ∈ V
8886, 5, 87ovmpoa 7587 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
8975, 76, 88sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘((1 · (𝐺𝑠)) + (0 · 𝑠))))
90 fvco3 7007 . . . 4 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9140, 90sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘𝑠) = (𝐹‘(𝐺𝑠)))
9274, 89, 913eqtr4d 2784 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = ((𝐹𝐺)‘𝑠))
93 1elunit 13506 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
94 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
9594oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = (1 − 1))
96 1m1e0 12335 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
9795, 96eqtrdi 2790 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (1 − 𝑦) = 0)
98 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
9998fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
10097, 99oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = (0 · (𝐺𝑠)))
10194, 98oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑦 · 𝑥) = (1 · 𝑠))
102100, 101oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)))
103102fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
104 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) ∈ V
105103, 5, 104ovmpoa 7587 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10675, 93, 105sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))))
10766mul02d 11456 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 · (𝐺𝑠)) = 0)
10869mullidd 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑠) = 𝑠)
109107, 108oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = (0 + 𝑠))
11069addlidd 11459 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0 + 𝑠) = 𝑠)
111109, 110eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠)) = 𝑠)
112111fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((0 · (𝐺𝑠)) + (1 · 𝑠))) = (𝐹𝑠))
113106, 112eqtrd 2774 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐹𝑠))
114 reparpht.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
115114adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘0) = 0)
116115oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = ((1 − 𝑠) · 0))
117 ax-1cn 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
118 subcl 11504 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
119117, 69, 118sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
120119mul01d 11457 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 0) = 0)
121116, 120eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) = 0)
12269mul01d 11457 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 0) = 0)
123121, 122oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = (0 + 0))
124 00id 11433 . . . . 5 (0 + 0) = 0
125123, 124eqtrdi 2790 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)) = 0)
126125fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) = (𝐹‘0))
127 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
128127oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
129 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
130129fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘0))
131128, 130oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)))
132127, 129oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 0))
133131, 132oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0)))
134133fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
135 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))) ∈ V
136134, 5, 135ovmpoa 7587 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
13776, 75, 136sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘0)) + (𝑠 · 0))))
138 fvco3 7007 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
13940, 76, 138sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
140114fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘0))
141139, 140eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
142141adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
143126, 137, 1423eqtr4d 2784 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘0))
144 reparpht.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
145144adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐺‘1) = 1)
146145oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = ((1 − 𝑠) · 1))
147119mulridd 11275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 1) = (1 − 𝑠))
148146, 147eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) = (1 − 𝑠))
14969mulridd 11275 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 1) = 𝑠)
150148, 149oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = ((1 − 𝑠) + 𝑠))
151 npcan 11514 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
152117, 69, 151sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) + 𝑠) = 1)
153150, 152eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)) = 1)
154153fveq2d 6910 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) = (𝐹‘1))
155 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
156155oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑠))
157 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
158157fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘1))
159156, 158oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) = ((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)))
160155, 157oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑦 · 𝑥) = (𝑠 · 1))
161159, 160oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1)))
162161fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝐹‘(((1 − 𝑦) · (𝐺𝑥)) + (𝑦 · 𝑥))) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
163 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))) ∈ V
164162, 5, 163ovmpoa 7587 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
16593, 75, 164sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘(((1 − 𝑠) · (𝐺‘1)) + (𝑠 · 1))))
166 fvco3 7007 . . . . . 6 ((𝐺:(0[,]1)⟶(0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
16740, 93, 166sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
168144fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘1))
169167, 168eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
170169adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝐺)‘1) = (𝐹‘1))
171154, 165, 1703eqtr4d 2784 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = ((𝐹𝐺)‘1))
1724, 2, 64, 92, 113, 143, 171isphtpy2d 25032 1 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐹𝐺)(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  [,]cicc 13386  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  IIcii 24914  PHtpycphtpy 25013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916  df-htpy 25015  df-phtpy 25016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator