Theorem dvrcn 24100

Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcn.d	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrfval 20322	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
7		dvrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8		tdrgtrg 24089	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9		tdrgtps 24093	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
10	1, 7	istps 22850	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	9, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	1, 3	unitss 20296	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13		resttopon 23077	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
15	11, 14	cnmpt1st 23584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
16	11, 14	cnmpt2nd 23585	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
17	7, 4, 3	invrcn 24097	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (invr‘𝑅) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
18	11, 14, 16, 17	cnmpt21f 23588	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((invr‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
19	7, 2, 8, 11, 14, 15, 18	cnmpt2mulr 24099	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
20	6, 19	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164   ↾_t crest 17326  TopOpenctopn 17327  Unitcui 20275  inv_rcinvr 20307  /_rcdvr 20320  TopOnctopon 22826  TopSpctps 22848   Cn ccn 23140   ×_t ctx 23476  TopDRingctdrg 24073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fi 9302  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-tset 17182  df-rest 17328  df-topn 17329  df-topgen 17349  df-plusf 18549  df-minusg 18852  df-mgp 20061  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cn 23143  df-tx 23478  df-tmd 23988  df-tgp 23989  df-trg 24076  df-tdrg 24077

This theorem is referenced by: (None)