Theorem dvrcn 23035

Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcn.d	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrfval 19656	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
7		dvrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8		tdrgtrg 23024	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9		tdrgtps 23028	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
10	1, 7	istps 21785	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	1, 3	unitss 19632	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13		resttopon 22012	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
14	11, 12, 13	sylancl 589	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
15	11, 14	cnmpt1st 22519	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
16	11, 14	cnmpt2nd 22520	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
17	7, 4, 3	invrcn 23032	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (invr‘𝑅) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
18	11, 14, 16, 17	cnmpt21f 22523	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((invr‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
19	7, 2, 8, 11, 14, 15, 18	cnmpt2mulr 23034	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
20	6, 19	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∈ cmpo 7193  Basecbs 16666  ._rcmulr 16750   ↾_t crest 16879  TopOpenctopn 16880  Unitcui 19611  inv_rcinvr 19643  /_rcdvr 19654  TopOnctopon 21761  TopSpctps 21783   Cn ccn 22075   ×_t ctx 22411  TopDRingctdrg 23008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fi 9005  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-tset 16768  df-rest 16881  df-topn 16882  df-topgen 16902  df-plusf 18067  df-minusg 18323  df-mgp 19459  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-dvr 19655  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cn 22078  df-tx 22413  df-tmd 22923  df-tgp 22924  df-trg 23011  df-tdrg 23012

This theorem is referenced by: (None)