MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcn 23687
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
dvrcn.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 dvrcn.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . 3 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/rβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 20215 . 2 / = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
8 tdrgtrg 23676 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 23680 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 22435 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
119, 10sylib 217 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
121, 3unitss 20189 . . . 4 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
13 resttopon 22664 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1411, 12, 13sylancl 586 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1511, 14cnmpt1st 23171 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 23172 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
177, 4, 3invrcn 23684 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (invrβ€˜π‘…) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 23175 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 23686 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
206, 19eqeltrid 2837 1 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  Unitcui 20168  invrcinvr 20200  /rcdvr 20213  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  TopDRingctdrg 23660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576  df-trg 23663  df-tdrg 23664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator