Theorem dvrcn 24149

Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcn.d	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrfval 20382	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
7		dvrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8		tdrgtrg 24138	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9		tdrgtps 24142	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
10	1, 7	istps 22899	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	9, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	1, 3	unitss 20356	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13		resttopon 23126	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
14	11, 12, 13	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
15	11, 14	cnmpt1st 23633	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
16	11, 14	cnmpt2nd 23634	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
17	7, 4, 3	invrcn 24146	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (invr‘𝑅) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
18	11, 14, 16, 17	cnmpt21f 23637	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((invr‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
19	7, 2, 8, 11, 14, 15, 18	cnmpt2mulr 24148	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
20	6, 19	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367  /_rcdvr 20380  TopOnctopon 22875  TopSpctps 22897   Cn ccn 23189   ×_t ctx 23525  TopDRingctdrg 24122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-plusf 18607  df-minusg 18913  df-mgp 20122  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-tx 23527  df-tmd 24037  df-tgp 24038  df-trg 24125  df-tdrg 24126

This theorem is referenced by: (None)