MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcn 23551
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
dvrcn.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 dvrcn.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . 3 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/rβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 20118 . 2 / = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
8 tdrgtrg 23540 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 23544 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 22299 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
119, 10sylib 217 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
121, 3unitss 20094 . . . 4 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
13 resttopon 22528 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1411, 12, 13sylancl 587 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1511, 14cnmpt1st 23035 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 23036 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
177, 4, 3invrcn 23548 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (invrβ€˜π‘…) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 23039 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 23550 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
206, 19eqeltrid 2838 1 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  Unitcui 20073  invrcinvr 20105  /rcdvr 20116  TopOnctopon 22275  TopSpctps 22297   Cn ccn 22591   Γ—t ctx 22927  TopDRingctdrg 23524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-plusf 18501  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-tx 22929  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-trg 23527  df-tdrg 23528
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator