Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcn 22792
 Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d / = (/r𝑅)
dvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2801 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 dvrcn.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2801 . . 3 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 19433 . 2 / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8 tdrgtrg 22781 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 22785 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 21542 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
119, 10sylib 221 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
121, 3unitss 19409 . . . 4 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13 resttopon 21769 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1411, 12, 13sylancl 589 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
1511, 14cnmpt1st 22276 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 22277 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn (𝐽t 𝑈)))
177, 4, 3invrcn 22789 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing → (invr𝑅) ∈ ((𝐽t 𝑈) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 22280 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ ((invr𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 22791 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
206, 19eqeltrid 2897 1 (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t 𝑈)) Cn 𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  Basecbs 16478  .rcmulr 16561   ↾t crest 16689  TopOpenctopn 16690  Unitcui 19388  invrcinvr 19420  /rcdvr 19431  TopOnctopon 21518  TopSpctps 21540   Cn ccn 21832   ×t ctx 22168  TopDRingctdrg 22765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-tset 16579  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-plusf 17846  df-minusg 18102  df-mgp 19236  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-tx 22170  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-trg 22768  df-tdrg 22769 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator