MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvrcn 24087
Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
dvrcn.d / = (/rβ€˜π‘…)
dvrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
dvrcn (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
Proof of Theorem dvrcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2728 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3 dvrcn.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4 eqid 2728 . . 3 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
5 dvrcn.d . . 3 / = (/rβ€˜π‘…)
61, 2, 3, 4, 5dvrfval 20340 . 2 / = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
7 dvrcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
8 tdrgtrg 24076 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopRing)
9 tdrgtps 24080 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
101, 7istps 22835 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
119, 10sylib 217 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
121, 3unitss 20314 . . . 4 π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
13 resttopon 23064 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1411, 12, 13sylancl 585 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
1511, 14cnmpt1st 23571 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
1611, 14cnmpt2nd 23572 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
177, 4, 3invrcn 24084 . . . 4 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (invrβ€˜π‘…) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
1811, 14, 16, 17cnmpt21f 23575 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
197, 2, 8, 11, 14, 15, 18cnmpt2mulr 24086 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))) ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
206, 19eqeltrid 2833 1 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ / ∈ ((𝐽 Γ—t (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  Unitcui 20293  invrcinvr 20325  /rcdvr 20338  TopOnctopon 22811  TopSpctps 22833   Cn ccn 23127   Γ—t ctx 23463  TopDRingctdrg 24060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fi 9434  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-plusf 18598  df-minusg 18893  df-mgp 20074  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-tx 23465  df-tmd 23975  df-tgp 23976  df-trg 24063  df-tdrg 24064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator