Theorem dvrcn 24322

Description: The division function is continuous in a topological field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
dvrcn.d	⊢ / = (/r‘𝑅)
dvrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Proof of Theorem dvrcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		dvrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
5		dvrcn.d	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvrfval 20485	. 2 ⊢ / = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
7		dvrcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
8		tdrgtrg 24311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopRing)
9		tdrgtps 24315	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
10	1, 7	istps 23072	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
12	1, 3	unitss 20459	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)
13		resttopon 23299	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
14	11, 12, 13	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝐽 ↾t 𝑈) ∈ (TopOn‘𝑈))
15	11, 14	cnmpt1st 23806	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
16	11, 14	cnmpt2nd 23807	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
17	7, 4, 3	invrcn 24319	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (invr‘𝑅) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
18	11, 14, 16, 17	cnmpt21f 23810	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((invr‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
19	7, 2, 8, 11, 14, 15, 18	cnmpt2mulr 24321	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))
20	6, 19	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽 ↾t 𝑈)) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   ↾_t crest 17474  TopOpenctopn 17475  Unitcui 20438  inv_rcinvr 20470  /_rcdvr 20483  TopOnctopon 23048  TopSpctps 23070   Cn ccn 23362   ×_t ctx 23698  TopDRingctdrg 24295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-rest 17476  df-topn 17477  df-topgen 17497  df-plusf 18698  df-minusg 19005  df-mgp 20218  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-tx 23700  df-tmd 24210  df-tgp 24211  df-trg 24298  df-tdrg 24299

This theorem is referenced by: (None)