Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem6 34971
Description: Lemma for cvmlift2 34979. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem6
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . . . . . 8 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5 cvmlift2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem5 34970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
98adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
109ffnd 6718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
11 fnov 7546 . . . . 5 (𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1312reseq1d 5979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))))
14 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
1514snssd 4809 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ {𝑋} βŠ† (0[,]1))
16 ssid 3996 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,]1)
17 resmpo 7534 . . . . 5 (({𝑋} βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1815, 16, 17sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
19 elsni 4642 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑋} β†’ 𝑒 = 𝑋)
20193ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑒 = 𝑋)
2120oveq1d 7428 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
22 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
23 simp3 1135 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑣 ∈ (0[,]1))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem4 34969 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2522, 23, 24syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2621, 25eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2726mpoeq3dva 7491 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2818, 27eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2913, 28eqtrd 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
30 eqid 2725 . . . 4 (II β†Ύt {𝑋}) = (II β†Ύt {𝑋})
31 iitopon 24812 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3231a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
33 eqid 2725 . . . 4 (II β†Ύt (0[,]1)) = (II β†Ύt (0[,]1))
3416a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,]1))
3532, 32cnmpt2nd 23586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
36 eqid 2725 . . . . . . 7 (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 36cvmlift2lem3 34968 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
3837simp1d 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢))
3932, 32, 35, 38cnmpt21f 23589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢))
4030, 32, 15, 33, 32, 34, 39cnmpt2res 23594 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢))
41 iitop 24813 . . . . 5 II ∈ Top
42 snex 5428 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
43 ovex 7446 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
44 txrest 23548 . . . . 5 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))))
4541, 41, 42, 43, 44mp4an 691 . . . 4 ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1)))
4645oveq1i 7423 . . 3 (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢) = (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢)
4740, 46eleqtrrdi 2836 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
4829, 47eqeltrd 2825 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11133  1c1 11134  [,]cicc 13354   β†Ύt crest 17396  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   Γ—t ctx 23477  IIcii 24808   CovMap ccvm 34918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-conn 23329  df-lly 23383  df-nlly 23384  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-htpy 24909  df-phtpy 24910  df-phtpc 24931  df-pconn 34884  df-sconn 34885  df-cvm 34919
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  34974
  Copyright terms: Public domain W3C validator