Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem6 34287
Description: Lemma for cvmlift2 34295. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem6
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . . . . . 8 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5 cvmlift2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem5 34286 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
98adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
109ffnd 6715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
11 fnov 7536 . . . . 5 (𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1312reseq1d 5978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))))
14 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
1514snssd 4811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ {𝑋} βŠ† (0[,]1))
16 ssid 4003 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,]1)
17 resmpo 7524 . . . . 5 (({𝑋} βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1815, 16, 17sylancl 586 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
19 elsni 4644 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑋} β†’ 𝑒 = 𝑋)
20193ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑒 = 𝑋)
2120oveq1d 7420 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
22 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
23 simp3 1138 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑣 ∈ (0[,]1))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem4 34285 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2621, 25eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2726mpoeq3dva 7482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2818, 27eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2913, 28eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
30 eqid 2732 . . . 4 (II β†Ύt {𝑋}) = (II β†Ύt {𝑋})
31 iitopon 24386 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3231a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
33 eqid 2732 . . . 4 (II β†Ύt (0[,]1)) = (II β†Ύt (0[,]1))
3416a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,]1))
3532, 32cnmpt2nd 23164 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
36 eqid 2732 . . . . . . 7 (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 36cvmlift2lem3 34284 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
3837simp1d 1142 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢))
3932, 32, 35, 38cnmpt21f 23167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢))
4030, 32, 15, 33, 32, 34, 39cnmpt2res 23172 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢))
41 iitop 24387 . . . . 5 II ∈ Top
42 snex 5430 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
43 ovex 7438 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
44 txrest 23126 . . . . 5 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))))
4541, 41, 42, 43, 44mp4an 691 . . . 4 ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1)))
4645oveq1i 7415 . . 3 (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢) = (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢)
4740, 46eleqtrrdi 2844 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
4829, 47eqeltrd 2833 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107  [,]cicc 13323   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  IIcii 24382   CovMap ccvm 34234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-conn 22907  df-lly 22961  df-nlly 22962  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pconn 34200  df-sconn 34201  df-cvm 34235
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  34290
  Copyright terms: Public domain W3C validator