Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem6 34854
Description: Lemma for cvmlift2 34862. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑓)
Proof of Theorem cvmlift2lem6
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . . . . . 8 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift2.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5 cvmlift2.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem5 34853 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
98adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢𝐡)
109ffnd 6717 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
11 fnov 7546 . . . . 5 (𝐾 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1210, 11sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐾 = (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1312reseq1d 5978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))))
14 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
1514snssd 4808 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ {𝑋} βŠ† (0[,]1))
16 ssid 4000 . . . . 5 (0[,]1) βŠ† (0[,]1)
17 resmpo 7534 . . . . 5 (({𝑋} βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
1815, 16, 17sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)))
19 elsni 4641 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑋} β†’ 𝑒 = 𝑋)
20193ad2ant2 1132 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑒 = 𝑋)
2120oveq1d 7429 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
22 simp1r 1196 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑋 ∈ (0[,]1))
23 simp3 1136 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑣 ∈ (0[,]1))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem4 34852 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2522, 23, 24syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2621, 25eqtrd 2767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑒 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£))
2726mpoeq3dva 7491 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2818, 27eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑒𝐾𝑣)) β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
2913, 28eqtrd 2767 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)))
30 eqid 2727 . . . 4 (II β†Ύt {𝑋}) = (II β†Ύt {𝑋})
31 iitopon 24786 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
3231a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
33 eqid 2727 . . . 4 (II β†Ύt (0[,]1)) = (II β†Ύt (0[,]1))
3416a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (0[,]1) βŠ† (0[,]1))
3532, 32cnmpt2nd 23560 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II Γ—t II) Cn II))
36 eqid 2727 . . . . . . 7 (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 36cvmlift2lem3 34851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))
3837simp1d 1140 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹))) ∈ (II Cn 𝐢))
3932, 32, 35, 38cnmpt21f 23563 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢))
4030, 32, 15, 33, 32, 34, 39cnmpt2res 23568 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢))
41 iitop 24787 . . . . 5 II ∈ Top
42 snex 5427 . . . . 5 {𝑋} ∈ V
43 ovex 7447 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
44 txrest 23522 . . . . 5 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) β†’ ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))))
4541, 41, 42, 43, 44mp4an 692 . . . 4 ((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) = ((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1)))
4645oveq1i 7424 . . 3 (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢) = (((II β†Ύt {𝑋}) Γ—t (II β†Ύt (0[,]1))) Cn 𝐢)
4740, 46eleqtrrdi 2839 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑒 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘‹)))β€˜π‘£)) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
4829, 47eqeltrd 2828 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝐾 β†Ύ ({𝑋} Γ— (0[,]1))) ∈ (((II Γ—t II) β†Ύt ({𝑋} Γ— (0[,]1))) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11130  1c1 11131  [,]cicc 13351   β†Ύt crest 17393  Topctop 22782  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115   Γ—t ctx 23451  IIcii 24782   CovMap ccvm 34801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-cmp 23278  df-conn 23303  df-lly 23357  df-nlly 23358  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-ii 24784  df-cncf 24785  df-htpy 24883  df-phtpy 24884  df-phtpc 24905  df-pconn 34767  df-sconn 34768  df-cvm 34802
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  34857
  Copyright terms: Public domain W3C validator