Theorem cvmlift2lem6 35340

Description: Lemma for cvmlift2 35348. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem5 35339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
10	9	ffnd 6652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
11		fnov 7477	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
13	12	reseq1d 5927	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
15	14	snssd 4761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
16		ssid 3957	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]1)
17		resmpo 7466	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
19		elsni 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑋} → 𝑢 = 𝑋)
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑢 = 𝑋)
21	20	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
22		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
23		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem4 35338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
26	21, 25	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
27	26	mpoeq3dva 7423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
28	18, 27	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
29	13, 28	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
30		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (II ↾t {𝑋}) = (II ↾t {𝑋})
31		iitopon 24797	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
33		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (II ↾t (0[,]1)) = (II ↾t (0[,]1))
34	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]1))
35	32, 32	cnmpt2nd 23582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II ×t II) Cn II))
36		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 36	cvmlift2lem3 35337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘0) = (𝐻‘𝑋)))
38	37	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶))
39	32, 32, 35, 38	cnmpt21f 23585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
40	30, 32, 15, 33, 32, 34, 39	cnmpt2res 23590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶))
41		iitop 24798	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
42		snex 5374	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
43		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
44		txrest 23544	. . . . 5 ⊢ (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))))
45	41, 41, 42, 43, 44	mp4an 693	. . . 4 ⊢ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1)))
46	45	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) = (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶)
47	40, 46	eleqtrrdi 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
48	29, 47	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ∪ cuni 4859   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  0cc0 11003  1c1 11004  [,]cicc 13245   ↾_t crest 17321  Topctop 22806  TopOnctopon 22823   Cn ccn 23137   ×_t ctx 23473  IIcii 24793   CovMap ccvm 35287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-cmp 23300  df-conn 23325  df-lly 23379  df-nlly 23380  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-ii 24795  df-cncf 24796  df-htpy 24894  df-phtpy 24895  df-phtpc 24916  df-pconn 35253  df-sconn 35254  df-cvm 35288

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  35343