Theorem dipcn 29091

Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipcn.p	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
dipcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dipcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		dipcn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dipfval 29073	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7		dipcn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsxmet 29063	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9		dipcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10	9	mopntopon 23601	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12		dipcn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13		fzfid 13702	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
14	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
15	12	cnfldtopon 23955	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17		ax-icn 10939	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		elfznn 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 13809	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
23	14, 14, 16, 22	cnmpt2c 22830	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	14, 14	cnmpt1st 22828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
25	14, 14	cnmpt2nd 22829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
26	7, 9, 3, 12	smcn 29069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	14, 14, 23, 25, 27	cnmpt22f 22835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
29	7, 9, 2	vacn 29065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
31	14, 14, 24, 28, 30	cnmpt22f 22835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
32	4, 7, 9, 12	nmcnc 29067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34	14, 14, 31, 33	cnmpt21f 22832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
35	12	sqcn 24046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37		oveq1 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
38	14, 14, 34, 16, 36, 37	cnmpt21 22831	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
39	12	mulcn 24039	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
41	14, 14, 23, 38, 40	cnmpt22f 22835	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
42	12, 11, 13, 11, 41	fsum2cn 24043	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
43	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44		4cn 12067	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		4ne0 12090	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
46	12	divccn 24045	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
47	44, 45, 46	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
48	47	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49		oveq1 7291	. . 3 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
50	11, 11, 42, 43, 48, 49	cnmpt21 22831	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
51	6, 50	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944   ↦ cmpt 5158  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ∈ cmpo 7286  ℂcc 10878  0cc0 10880  1c1 10881  ici 10882   · cmul 10885   / cdiv 11641  ℕcn 11982  2c2 12037  4c4 12039  ℕ₀cn0 12242  ...cfz 13248  ↑cexp 13791  Σcsu 15406  TopOpenctopn 17141  ∞Metcxmet 20591  MetOpencmopn 20596  ℂ_fldccnfld 20606  TopOnctopon 22068   Cn ccn 22384   ×_t ctx 22720  NrmCVeccnv 28955   +_𝑣 cpv 28956  BaseSetcba 28957   ·_𝑠OLD cns 28958  norm_CVcnmcv 28961  IndMetcims 28962  ·_𝑖OLDcdip 29071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-grpo 28864  df-gid 28865  df-ginv 28866  df-gdiv 28867  df-ablo 28916  df-vc 28930  df-nv 28963  df-va 28966  df-ba 28967  df-sm 28968  df-0v 28969  df-vs 28970  df-nmcv 28971  df-ims 28972  df-dip 29072

This theorem is referenced by:  ipasslem7  29207  occllem  29674