MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipcn 30529
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
dipcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Proof of Theorem dipcn
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2728 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2728 . . 3 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 30511 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 7imsxmet 30501 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
109mopntopon 24344 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
13 fzfid 13970 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 480 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1512cnfldtopon 24698 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
17 ax-icn 11197 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
18 elfznn 13562 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2019nnnn0d 12562 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
21 expcl 14076 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2217, 20, 21sylancr 586 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 23573 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (iβ†‘π‘˜)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 23571 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 23572 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 30507 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 23578 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 30503 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 23578 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 30505 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 23575 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 24793 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 7427 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) β†’ (𝑧↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 23574 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 24782 . . . . . 6 Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 23578 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 24788 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
44 4cn 12327 . . . . 5 4 ∈ β„‚
45 4ne0 12350 . . . . 5 4 β‰  0
4612divccn 24790 . . . . 5 ((4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 691 . . . 4 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 7427 . . 3 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) β†’ (𝑧 / 4) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 23574 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2829 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   Β· cmul 11143   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  4c4 12299  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  Ξ£csu 15664  TopOpenctopn 17402  βˆžMetcxmet 21263  MetOpencmopn 21268  β„‚fldccnfld 21278  TopOnctopon 22811   Cn ccn 23127   Γ—t ctx 23463  NrmCVeccnv 30393   +𝑣 cpv 30394  BaseSetcba 30395   ·𝑠OLD cns 30396  normCVcnmcv 30399  IndMetcims 30400  Β·π‘–OLDcdip 30509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-grpo 30302  df-gid 30303  df-ginv 30304  df-gdiv 30305  df-ablo 30354  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-vs 30408  df-nmcv 30409  df-ims 30410  df-dip 30510
This theorem is referenced by:  ipasslem7  30645  occllem  31112
  Copyright terms: Public domain W3C validator