Theorem dipcn 31012

Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipcn.p	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
dipcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dipcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		dipcn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dipfval 30994	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7		dipcn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsxmet 30984	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9		dipcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10	9	mopntopon 24564	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12		dipcn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13		fzfid 14008	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
14	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
15	12	cnfldtopon 24907	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17		ax-icn 11158	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		elfznn 13580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
19	18	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14114	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
23	14, 14, 16, 22	cnmpt2c 23795	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	14, 14	cnmpt1st 23793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
25	14, 14	cnmpt2nd 23794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
26	7, 9, 3, 12	smcn 30990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	14, 14, 23, 25, 27	cnmpt22f 23800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
29	7, 9, 2	vacn 30986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
31	14, 14, 24, 28, 30	cnmpt22f 23800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
32	4, 7, 9, 12	nmcnc 30988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34	14, 14, 31, 33	cnmpt21f 23797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
35	12	sqcn 25001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
38	14, 14, 34, 16, 36, 37	cnmpt21 23796	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
39	12	mulcn 24993	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
41	14, 14, 23, 38, 40	cnmpt22f 23800	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
42	12, 11, 13, 11, 41	fsum2cn 24998	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
43	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44		4cn 12325	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		4ne0 12351	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
46	12	divccn 25000	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
47	44, 45, 46	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
48	47	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49		oveq1 7418	. . 3 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
50	11, 11, 42, 43, 48, 49	cnmpt21 23796	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
51	6, 50	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100  ici 11101   · cmul 11104   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  4c4 12296  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ↑cexp 14096  Σcsu 15736  TopOpenctopn 17473  ∞Metcxmet 21475  MetOpencmopn 21480  ℂ_fldccnfld 21490  TopOnctopon 23035   Cn ccn 23349   ×_t ctx 23685  NrmCVeccnv 30876   +_𝑣 cpv 30877  BaseSetcba 30878   ·_𝑠OLD cns 30879  norm_CVcnmcv 30882  IndMetcims 30883  ·_𝑖OLDcdip 30992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-gdiv 30788  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-vs 30891  df-nmcv 30892  df-ims 30893  df-dip 30993

This theorem is referenced by:  ipasslem7  31128  occllem  31595