MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcn 28274
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
dipcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2778 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2778 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2778 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 28256 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
81, 7imsxmet 28246 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
109mopntopon 22752 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13 fzfid 13156 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 473 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1512cnfldtopon 23094 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17 ax-icn 10394 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 elfznn 12752 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11767 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 13262 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2217, 20, 21sylancr 578 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 21982 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 21980 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 21981 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 28252 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 21987 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 28248 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 21987 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 28250 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 21984 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 23185 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 6983 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 21983 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 23178 . . . . . 6 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 21987 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 23182 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44 4cn 11526 . . . . 5 4 ∈ ℂ
45 4ne0 11555 . . . . 5 4 ≠ 0
4612divccn 23184 . . . . 5 ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 679 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 6983 . . 3 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 21983 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2866 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336  ici 10337   · cmul 10340   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  4c4 11497  0cn0 11707  ...cfz 12708  cexp 13244  Σcsu 14903  TopOpenctopn 16551  ∞Metcxmet 20232  MetOpencmopn 20237  fldccnfld 20247  TopOnctopon 21222   Cn ccn 21536   ×t ctx 21872  NrmCVeccnv 28138   +𝑣 cpv 28139  BaseSetcba 28140   ·𝑠OLD cns 28141  normCVcnmcv 28144  IndMetcims 28145  ·𝑖OLDcdip 28254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ginv 28049  df-gdiv 28050  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-vs 28153  df-nmcv 28154  df-ims 28155  df-dip 28255
This theorem is referenced by:  ipasslem7  28390  occllem  28861
  Copyright terms: Public domain W3C validator