Theorem dipcn 31072

Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipcn.p	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
dipcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dipcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		dipcn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dipfval 31054	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7		dipcn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsxmet 31044	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9		dipcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10	9	mopntopon 24596	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12		dipcn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13		fzfid 14005	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
14	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
15	12	cnfldtopon 24939	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17		ax-icn 11154	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		elfznn 13577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
19	18	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14111	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
23	14, 14, 16, 22	cnmpt2c 23827	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	14, 14	cnmpt1st 23825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
25	14, 14	cnmpt2nd 23826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
26	7, 9, 3, 12	smcn 31050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	14, 14, 23, 25, 27	cnmpt22f 23832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
29	7, 9, 2	vacn 31046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
31	14, 14, 24, 28, 30	cnmpt22f 23832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
32	4, 7, 9, 12	nmcnc 31048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
33	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34	14, 14, 31, 33	cnmpt21f 23829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
35	12	sqcn 25033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
38	14, 14, 34, 16, 36, 37	cnmpt21 23828	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
39	12	mulcn 25025	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
41	14, 14, 23, 38, 40	cnmpt22f 23832	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
42	12, 11, 13, 11, 41	fsum2cn 25030	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
43	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44		4cn 12321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		4ne0 12347	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
46	12	divccn 25032	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
47	44, 45, 46	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
48	47	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49		oveq1 7417	. . 3 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
50	11, 11, 42, 43, 48, 49	cnmpt21 23828	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
51	6, 50	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096  ici 11097   · cmul 11100   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  4c4 12292  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  Σcsu 15733  TopOpenctopn 17469  ∞Metcxmet 21507  MetOpencmopn 21512  ℂ_fldccnfld 21522  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381   ×_t ctx 23717  NrmCVeccnv 30936   +_𝑣 cpv 30937  BaseSetcba 30938   ·_𝑠OLD cns 30939  norm_CVcnmcv 30942  IndMetcims 30943  ·_𝑖OLDcdip 31052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-dip 31053

This theorem is referenced by:  ipasslem7  31188  occllem  31655