Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcn 28501
 Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
dipcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2822 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2822 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2822 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 28483 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
81, 7imsxmet 28473 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
109mopntopon 23044 . . . 4 (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13 fzfid 13336 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 484 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
1512cnfldtopon 23386 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17 ax-icn 10585 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
18 elfznn 12931 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
1918adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2019nnnn0d 11943 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 expcl 13443 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2217, 20, 21sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 22273 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 22271 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 22272 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 28479 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 22278 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 28475 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 22278 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 28477 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 22275 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 23477 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 22274 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 23470 . . . . . 6 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 22278 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 23474 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44 4cn 11710 . . . . 5 4 ∈ ℂ
45 4ne0 11733 . . . . 5 4 ≠ 0
4612divccn 23476 . . . . 5 ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 691 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 7147 . . 3 (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 22274 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV𝑈)‘(𝑥( +𝑣𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2914 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  4c4 11682  ℕ0cn0 11885  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Σcsu 15033  TopOpenctopn 16686  ∞Metcxmet 20074  MetOpencmopn 20079  ℂfldccnfld 20089  TopOnctopon 21513   Cn ccn 21827   ×t ctx 22163  NrmCVeccnv 28365   +𝑣 cpv 28366  BaseSetcba 28367   ·𝑠OLD cns 28368  normCVcnmcv 28371  IndMetcims 28372  ·𝑖OLDcdip 28481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-grpo 28274  df-gid 28275  df-ginv 28276  df-gdiv 28277  df-ablo 28326  df-vc 28340  df-nv 28373  df-va 28376  df-ba 28377  df-sm 28378  df-0v 28379  df-vs 28380  df-nmcv 28381  df-ims 28382  df-dip 28482 This theorem is referenced by:  ipasslem7  28617  occllem  29084
 Copyright terms: Public domain W3C validator