Theorem dipcn 30744

Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipcn.p	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
dipcn.c	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
dipcn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
dipcn.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dipcn	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Proof of Theorem dipcn

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
5		dipcn.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dipfval 30726	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 = (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)))
7		dipcn.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8	1, 7	imsxmet 30716	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
9		dipcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10	9	mopntopon 24381	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
12		dipcn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
13		fzfid 13894	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1...4) ∈ Fin)
14	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑈)))
15	12	cnfldtopon 24724	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
17		ax-icn 11083	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		elfznn 13467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) → 𝑘 ∈ ℕ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ)
20	19	nnnn0d 12460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21		expcl 14000	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
22	17, 20, 21	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
23	14, 14, 16, 22	cnmpt2c 23612	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (i↑𝑘)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
24	14, 14	cnmpt1st 23610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
25	14, 14	cnmpt2nd 23611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
26	7, 9, 3, 12	smcn 30722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( ·𝑠OLD ‘𝑈) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
28	14, 14, 23, 25, 27	cnmpt22f 23617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
29	7, 9, 2	vacn 30718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ( +𝑣 ‘𝑈) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
31	14, 14, 24, 28, 30	cnmpt22f 23617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
32	4, 7, 9, 12	nmcnc 30720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (normCV‘𝑈) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34	14, 14, 31, 33	cnmpt21f 23614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
35	12	sqcn 24821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦))) → (𝑧↑2) = (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))
38	14, 14, 34, 16, 36, 37	cnmpt21 23613	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
39	12	mulcn 24810	. . . . . 6 ⊢ · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
41	14, 14, 23, 38, 40	cnmpt22f 23617	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ ((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
42	12, 11, 13, 11, 41	fsum2cn 24816	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
43	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
44		4cn 12228	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		4ne0 12251	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
46	12	divccn 24818	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
47	44, 45, 46	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
48	47	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49		oveq1 7363	. . 3 ⊢ (𝑧 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) → (𝑧 / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4))
50	11, 11, 42, 43, 48, 49	cnmpt21 23613	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈), 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) ↦ (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( +𝑣 ‘𝑈)((i↑𝑘)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
51	6, 50	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑃 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025  ici 11026   · cmul 11029   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  4c4 12200  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  ↑cexp 13982  Σcsu 15607  TopOpenctopn 17339  ∞Metcxmet 21292  MetOpencmopn 21297  ℂ_fldccnfld 21307  TopOnctopon 22852   Cn ccn 23166   ×_t ctx 23502  NrmCVeccnv 30608   +_𝑣 cpv 30609  BaseSetcba 30610   ·_𝑠OLD cns 30611  norm_CVcnmcv 30614  IndMetcims 30615  ·_𝑖OLDcdip 30724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-gdiv 30520  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-vs 30623  df-nmcv 30624  df-ims 30625  df-dip 30725

This theorem is referenced by:  ipasslem7  30860  occllem  31327