MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipcn 30467
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
dipcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Proof of Theorem dipcn
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2724 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2724 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2724 . . 3 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 30449 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 7imsxmet 30439 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
109mopntopon 24289 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
13 fzfid 13939 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 480 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1512cnfldtopon 24643 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
17 ax-icn 11166 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
18 elfznn 13531 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2019nnnn0d 12531 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
21 expcl 14046 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2217, 20, 21sylancr 586 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 23518 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (iβ†‘π‘˜)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 23516 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 23517 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 30445 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 23523 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 30441 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 23523 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 30443 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 23520 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 24738 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 7409 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) β†’ (𝑧↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 23519 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 24727 . . . . . 6 Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 23523 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 24733 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
44 4cn 12296 . . . . 5 4 ∈ β„‚
45 4ne0 12319 . . . . 5 4 β‰  0
4612divccn 24735 . . . . 5 ((4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 689 . . . 4 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 7409 . . 3 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) β†’ (𝑧 / 4) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 23519 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2825 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ↦ cmpt 5222  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   Β· cmul 11112   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  4c4 12268  β„•0cn0 12471  ...cfz 13485  β†‘cexp 14028  Ξ£csu 15634  TopOpenctopn 17372  βˆžMetcxmet 21219  MetOpencmopn 21224  β„‚fldccnfld 21234  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072   Γ—t ctx 23408  NrmCVeccnv 30331   +𝑣 cpv 30332  BaseSetcba 30333   ·𝑠OLD cns 30334  normCVcnmcv 30337  IndMetcims 30338  Β·π‘–OLDcdip 30447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-grpo 30240  df-gid 30241  df-ginv 30242  df-gdiv 30243  df-ablo 30292  df-vc 30306  df-nv 30339  df-va 30342  df-ba 30343  df-sm 30344  df-0v 30345  df-vs 30346  df-nmcv 30347  df-ims 30348  df-dip 30448
This theorem is referenced by:  ipasslem7  30583  occllem  31050
  Copyright terms: Public domain W3C validator