MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipcn 29960
Description: Inner product is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipcn.p 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
dipcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
dipcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
dipcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dipcn (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Proof of Theorem dipcn
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . 3 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . 3 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 dipcn.p . . 3 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5dipfval 29942 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)))
7 dipcn.c . . . . 5 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
81, 7imsxmet 29932 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
9 dipcn.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
109mopntopon 23936 . . . 4 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
12 dipcn.k . . . 4 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
13 fzfid 13934 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (1...4) ∈ Fin)
1411adantr 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1512cnfldtopon 24290 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
17 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
18 elfznn 13526 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...4) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1918adantl 482 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2019nnnn0d 12528 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
21 expcl 14041 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2217, 20, 21sylancr 587 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (iβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
2314, 14, 16, 22cnmpt2c 23165 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (iβ†‘π‘˜)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
2414, 14cnmpt1st 23163 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 14cnmpt2nd 23164 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
267, 9, 3, 12smcn 29938 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
2814, 14, 23, 25, 27cnmpt22f 23170 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
297, 9, 2vacn 29934 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3114, 14, 24, 28, 30cnmpt22f 23170 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
324, 7, 9, 12nmcnc 29936 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (normCVβ€˜π‘ˆ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3414, 14, 31, 33cnmpt21f 23167 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3512sqcn 24381 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
37 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑧 = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦))) β†’ (𝑧↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))
3814, 14, 34, 16, 36, 37cnmpt21 23166 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
3912mulcn 24374 . . . . . 6 Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
4039a1i 11 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4114, 14, 23, 38, 40cnmpt22f 23170 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘˜ ∈ (1...4)) β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ ((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4212, 11, 13, 11, 41fsum2cn 24378 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
4315a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
44 4cn 12293 . . . . 5 4 ∈ β„‚
45 4ne0 12316 . . . . 5 4 β‰  0
4612divccn 24380 . . . . 5 ((4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4744, 45, 46mp2an 690 . . . 4 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾)
4847a1i 11 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 / 4)) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
49 oveq1 7412 . . 3 (𝑧 = Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) β†’ (𝑧 / 4) = (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4))
5011, 11, 42, 43, 48, 49cnmpt21 23166 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ), 𝑦 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (1...4)((iβ†‘π‘˜) Β· (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(π‘₯( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((iβ†‘π‘˜)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝑦)))↑2)) / 4)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
516, 50eqeltrd 2833 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑃 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628  TopOpenctopn 17363  βˆžMetcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  β„‚fldccnfld 20936  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  IndMetcims 29831  Β·π‘–OLDcdip 29940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941
This theorem is referenced by:  ipasslem7  30076  occllem  30543
  Copyright terms: Public domain W3C validator